Истов Контрольная работа № 1 по теме «Уравнения с одной переменной» Вариант 1 1. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней: a) - 9 + x = 3x - 7; б) 4x2 - 3x+7=2x2 +x+7. 2. Решите уравнение. a) x3 - 81x = 0; б) 4x3 - x2 + 36 - 9x = 0; 3. Решите биквадратное уравнение: a) x4 +6x2 - 27 = 0; 5. Решите дробное рациональное уравнение: a) x-1 x+1 30 = 5; 6. Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Конечно! Давайте подробно разберем каждую задачу, начиная с уравнений.

1. Решите уравнение. Если у уравнения более одного корня, в ответ запишите меньший из корней:

а) -9 + x = 3x - 7

Для начала перенеся все члены с переменной x в одну сторону, а все константы в другую сторону, получаем:

\[ -9 + 7 = 3x - x \implies -2 = 2x \implies x = -1 \]

б) 4x² - 3x + 7 = 2x² + x + 7

Упрощаем это уравнение, вычитая все члены справа:

\[ 4x² - 2x² - 3x - x + 7 - 7 = 0 \implies 2x² - 4x = 0 \]

Факторизуем:

\[ 2x(x - 2) = 0 \]

Корни:

1. \( x = 0 \)
2. \( x = 2 \)

Меньший из корней: \( x = 0 \)

2. Решите уравнение.

а) x³ - 81x = 0

Факторизуем:

\[ x(x² - 81) = 0 \implies x(x - 9)(x + 9) = 0 \]

Корни:

1. \( x = 0 \)
2. \( x = 9 \)
3. \( x = -9 \)

б) 4x³ - x² + 36 - 9x = 0

Упрощаем:

\[ 4x³ - x² - 9x + 36 = 0 \]

Для поиска корней можно использовать метод проб:

Проверим \( x = 3 \):

\[ 4(3)³ - (3)² - 9(3) + 36 = 4(27) - 9 - 27 + 36 = 108 - 9 - 27 + 36 = 108 - 36 = 72 \quad (\text{не корень}) \]

Проверим \( x = 2 \):

\[ 4(2)³ - (2)² - 9(2) + 36 = 4(8) - 4 - 18 + 36 = 32 - 4 - 18 + 36 = 46 \quad (\text{не корень}) \]

Проверим \( x = -3 \):

\[ 4(-3)³ - (-3)² - 9(-3) + 36 = 4(-27) - 9 + 27 + 36 = -108 - 9 + 27 + 36 = -54 \quad (\text{не корень}) \]

Пробуем другие значения или используем численные методы.

3. Решите биквадратное уравнение:

а) x⁴ + 6x² - 27 = 0

Обозначим \( y = x² \):

\[ y² + 6y - 27 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение по формуле Виета или дискриминанту:

\[ D = 6² - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 \]

Корни:

\[ y_{1,2} = \frac{-6 \pm 12}{2} \implies y_1 = 3 \implies y_2 = -9 \quad (\text{игнорируем, } y > 0) \]

Значит:

\[ x² = 3 \implies x = \sqrt{3}, x = -\sqrt{3} \]

5. Решите дробное рациональное уравнение:

а)

\[ \frac{x - 1}{x + 1} \cdot 30 = 5 \]

Умножим обе стороны на \(x + 1\) (при \(x \neq -1\)):

\[ 30(x - 1) = 5(x + 1) \]

Решаем:

\[ 30x - 30 = 5x + 5 \implies 30x - 5x = 30 + 5 \implies 25x = 35 \implies x = \frac{35}{25} = \frac{7}{5} \]

6. Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег.

Обозначим скорость второго велосипедиста как \(x\). Тогда скорость первого будет \(x + 10\). Первая велосипедистка проедет 60 км на \(x + 10\) за:

\[ \frac{60}{x + 10} \]

Вторая — за:

\[ \frac{60}{x} \]

Из условия, первая велосипедистка прибыла на 3 часа раньше:

\[ \frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} = 3 \]

Умножим на \(x(x + 10)\):

\[ 60(x + 10) - 60x = 3x(x + 10) \]

Упрощаем:

\[ 600 = 3x^2 + 30x \implies 3x^2 + 30x - 600 = 0 \]

Разделим на 3:

\[ x^2 + 10x - 200 = 0 \]

Находим дискриминант:

\[ D = 10² - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900 \]

Корни:

\[ x = \frac{-10 \pm 30}{2} = 10 \quad (\text{игнорируем отрицательный корень}) \]

Следовательно, скорость второго велосипедиста \(x = 10\) км/ч.

Если есть дополнительные вопросы или требуется помощь с другими задачами, пожалуйста, дайте знать!