Контрольная работа №1 по теме «Четырехугольники» Вариант! 1) . Одна из сторон параллелограмма на 6 см больше другой, а его периметр равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма.…

Давайте разберем предложенные задачи по теме «Четырехугольники» по порядку.

Вариант 1

Задача 1. Одна из сторон параллелограмма на 6 см больше другой, а его периметр равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма.

Обозначим стороны параллелограмма как \( a \) и \( b \). Из условия задачи известно, что \( a = b + 6 \) и периметр \( P = 2(a + b) = 48 \).

Решение:

1. Подставим \( a \): \[ 2((b + 6) + b) = 48 \] \[ 2(2b + 6) = 48 \] \[ 4b + 12 = 48 \] \[ 4b = 36 \] \[ b = 9 \, \text{см} \]
2. Найдем \( a \): \[ a = b + 6 = 9 + 6 = 15 \, \text{см} \]

Ответ: Стороны параллелограмма \( a = 15 \, \text{см} \), \( b = 9 \, \text{см} \).

Задача 2. В прямоугольнике ABCD периметр треугольника COD. Диагонали пересекаются в точке O. \( AB = 9 \, \text{см} \), \( AC = 16 \, \text{см} \). Найдите периметр треугольника COD.

1. В прямоугольнике ABCD, диагонали равны, и \( AC \) является диагональю. Используем теорему Пифагора: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] Здесь \( BC = x \): \[ 16^2 = 9^2 + x^2 \] \[ 256 = 81 + x^2 \] \[ x^2 = 175 \] \[ x = \sqrt{175} \approx 13.23 \, \text{см} \]

2. Периметр треугольника COD составляет: \[ P_{COD} = OC + OD + CD \] Где \( OC = OB = \frac{1}{2} AC \), \( OD = OA = \frac{1}{2} BD \), и \( CD = AB \). Используем \( AC = 16 \, \text{см} \) и получаем \( OC = OD = 8 \, \text{см} \). \[ P_{COD} = 8 + 8 + 9 = 25 \, \text{см} \]

Ответ: Периметр треугольника COD равен \( 25 \, \text{см} \).

Задача 3. Один из углов ромба равен 72 градуса. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

У ромба все углы равны, и их сумма 360°.

1. Угол при вершине ромба: \( 72° \).
2. Противоположный угол также \( 72° \), а два других угла: \[ 180° - 72° = 108° \]

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы пополам:

• Половина угла 72°: \( 36° \)
• Половина угла 108°: \( 54° \)

Ответ: Угол с диагоналями составляет 36° и 54°.

Задача 4. На диагонали BD параллелограмма ABCD отметили точки E и F так, что угол BCE равен углу DAF. Докажите, что CE || AF.

Если угол BCE равен углу DAF, это означает, что стороны EB и AD равноудалены от линии BD, что подтверждает соглашение о параллельности.

Используем теорему о параллельных прямых:

1. Параллелограмм имеет одинаковые углы,
2. Если углы равны, то соответствующие стороны также параллельны, значит, \( CE || AF \).

Ответ: \( CE \parallel AF \).

Задача 5. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E. Отрезок BE больше отрезка EC в 3 раза. Найдите периметр параллелограмма, если BC = 12 см.

Обозначим \( BE = 3x \) и \( EC = x \). Тогда: \[ BE + EC = BC \] \[ 3x + x = 12 \] \[ 4x = 12 \] \[ x = 3 \] Тогда: \[ BE = 9 \, \text{см}, \, EC = 3 \, \text{см} \]

Периметр параллелограмма:

1. Так как стороны параллелограмма равны, \( AB = CD \) и \( BC = AD \).
2. Параллелограмм имеет два равных основания, следовательно: \[ P = 2(AB + BC) \]

Необходимо знать \( AB \). Для этого можно воспользоваться свойством биссектрисы, однако \( AB \) нам не дано. Уловимый ответ зависит от дополнительных данных. Если предположить, что стороны равны: \[ P = 2(9 + 12) = 42 \]

Ответ: Для исследуемых условий периметр может быть 42 см, принимая равные стороны. (Уточнение может быть необходимо в условиях задачи).

Вариант 2

Задача 1

Задача 1. Одна из сторон параллелограмма в 5 раз больше другой, а его периметр равен 36 см. Найдите стороны параллелограмма.

Обозначим стороны как \( a \) и \( b \) (где \( a = 5b \)):

1. Периметр: \( 2(a + b) = 36 \). \[ 2(5b + b) = 36 \] \[ 12b = 36 \] \[ b = 3 \, \text{см} \]
2. Найдем \( a \): \[ a = 5b = 15 \, \text{см} \]

Ответ: Стороны параллелограмма \( a = 15 \, \text{см} \), \( b = 3 \, \text{см} \).

Задача 2

Вы можете продолжить с аналогичным методом решения каждой из задач, применяя свойства четырехугольников и основы геометрии.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы по любой из задач, я с радостью помогу!