Докажите, что уравнение не имеет корней (x ^ 2 - 4x + 7)(x ^ 2 - 6x + 14) = 14

Чтобы доказать, что уравнение \((x^2 - 4x + 7)(x^2 - 6x + 14) = 14\) не имеет корней, начнем с приведения его к более удобному виду.

Рассмотрим функции \( f(x) = x^2 - 4x + 7 \) и \( g(x) = x^2 - 6x + 14 \).

Теперь проанализируем каждую функцию по отдельности.

1. Функция \( f(x) = x^2 - 4x + 7 \):

   • Находим дискриминант: \[ D_f = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12 \]
   • Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение \( f(x) = 0 \) не имеет вещественных корней. Это означает, что \( f(x) \) всегда положительно. Теперь найдем его минимальное значение, используя формулу для вершины параболы: \[ x_{\text{min}} = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2} = 2 \] Подставим \( x = 2 \) в \( f(x) \): \[ f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 7 = 4 - 8 + 7 = 3 \]
   • Таким образом, \( f(x) \geq 3 \) для всех \( x \).

2. Функция \( g(x) = x^2 - 6x + 14 \):

   • Находим дискриминант: \[ D_g = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 36 - 56 = -20 \]
   • Также имеет отрицательный дискриминант, значит, уравнение \( g(x) = 0 \) не имеет вещественных корней. Теперь найдем минимальное значение \( g(x) \): \[ x_{\text{min}} = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3 \] Подставим \( x = 3 \) в \( g(x) \): \[ g(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 14 = 9 - 18 + 14 = 5 \]
   • Таким образом, \( g(x) \geq 5 \) для всех \( x \).

Теперь, учитывая, что \( f(x) \geq 3 \) и \( g(x) \geq 5 \), мы можем найти произведение \( f(x) \cdot g(x) \): \[ f(x) \cdot g(x) \geq 3 \cdot 5 = 15 \]

Таким образом, \( (x^2 - 4x + 7)(x^2 - 6x + 14) \geq 15 \) для всех \( x \).

Мы хотим доказать, что \( (x^2 - 4x + 7)(x^2 - 6x + 14) = 14 \) не имеет решений. Поскольку левой части уравнения присуща нижняя граница 15, это означает, что уравнение не может быть равно 14.

Итак, мы доказали, что уравнение \((x^2 - 4x + 7)(x^2 - 6x + 14) = 14\) не имеет корней.