Автомат получает на вход натуральное число X. По этому числу строится трёхзначное число Y по следующим правилам. 1] Первая цифра числа Y (разряд сотен) – остаток от деления X на 4. 2] Вторая цифра числа Y (разряд десятков) – остаток от деления X на 3. 3] Третья цифра числа Y (разряд единиц) – остаток от деления X на 2. Пример. Исходное число: 55. Остаток от деления на 4 равен 3; остаток от деления на 3 равен 1; остаток от деления на 2 равен 1. Результат работы автомата: 311. Сколько существует двузначных чисел, при обработке которых автомат выдаёт результат 201

Чтобы определить, сколько существует двузначных чисел \(X\), при обработке которых автомат выдает результат \(Y = 201\), нам нужно воспользоваться правилами, описанными для формирования числа \(Y\) из натурального числа \(X\).

1. Первая цифра числа \(Y\) (разряд сотен) равна остатку от деления \(X\) на 4. В нашем случае: \[ X \mod 4 = 2 \]

2. Вторая цифра числа \(Y\) (разряд десятков) равна остатку от деления \(X\) на 3: \[ X \mod 3 = 0 \]

3. Третья цифра числа \(Y\) (разряд единиц) равна остатку от деления \(X\) на 2: \[ X \mod 2 = 1 \]

Теперь нам нужно найти двузначные числа \(X\) (от 10 до 99), которые удовлетворяют всем этим условиям.

1. Определим числа, которые при делении на 4 дают остаток 2:

Это числа вида: \[ 4k + 2 \] где \(k\) - целое число. В интервале от 10 до 99 такие числа:

• 10 (при \(k = 2\))
• 14 (при \(k = 3\))
• 18
• 22
• 26
• 30
• 34
• 38
• 42
• 46
• 50
• 54
• 58
• 62
• 66
• 70
• 74
• 78
• 82
• 86
• 90
• 94
• 98

2. Определим числа, которые делятся на 3:

Это числа вида: \[ 3m \] где \(m\) - целое число. В интервале от 10 до 99 такие числа:

• 12
• 15
• 18
• 21
• 24
• 27
• 30
• 33
• 36
• 39
• 42
• 45
• 48
• 51
• 54
• 57
• 60
• 63
• 66
• 69
• 72
• 75
• 78
• 81
• 84
• 87
• 90
• 93
• 96
• 99

3. Определим числа, которые дают остаток 1 при делении на 2:

Это числа вида: \[ 2n + 1 \] где \(n\) - целое число. Двузначные числа, которые дают такой остаток:

• 11
• 13
• 15
• 17
• 19
• 21
• 23
• 25
• 27
• 29
• 31
• 33
• 35
• 37
• 39
• 41
• 43
• 45
• 47
• 49
• 51
• 53
• 55
• 57
• 59
• 61
• 63
• 65
• 67
• 69
• 71
• 73
• 75
• 77
• 79
• 81
• 83
• 85
• 87
• 89
• 91
• 93
• 95
• 97
• 99

Результат

Теперь нам нужно найти числа \(X\), которые удовлетворяют всем трем условиям:

1. Остаток 2 при делении на 4: 10, 14, 18, 22, 26, 30, ..., 98
2. Делятся на 3: 12, 15, 18, 21, 24, ..., 99
3. Остаток 1 при делении на 2: все нечетные числа от 10 до 99.

Теперь просто пересечем все эти множества и найдем решение.

• Проверим числа:
  • 18: соответствует всем условиям.
  • 30: также соответствует.
  • Остальные не подходят.

Таким образом, число таких двузначных чисел \(X\) равно 2, это 18 и 30.