1.Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и конденсатора. В нём наблюдаются гармонические электромагнитные колебания с периодом Т = 8 мс. В начальный момент времени…
1.Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и конденсатора. В нём наблюдаются гармонические электромагнитные колебания с периодом Т = 8 мс. В начальный момент времени заряд конденсатора максимален и равен . Каков будет заряд конденсатора через t = 2 мс? 2. Колебательный контур образован катушкой индуктивности и конденсатором. При переводе ключа К из положения 1 в положение 2 период электромагнитных колебаний в контуре уменьшился в 4 раза. Во сколько раз при этом уменьшилась ёмкость конденсатора? 3. Амплитуда силы тока при свободных колебаниях в колебательном контуре 80 мА. Какова амплитуда напряжения на конденсаторе колебательного контура, если емкость этого конденсатора 2 мкФ, а индуктивность катушки 3 Гн? Активным сопротивлением пренебречь.
- В колебательном контуре заряд конденсатора изменяется согласно закону гармонических колебаний. При максимальном заряде \( Q_0 \) и периоде \( T \), заряд в любой момент времени \( t \) можно выразить с использованием функции косинуса:
\[ Q(t) = Q_0 \cos\left(\frac{2\pi}{T} t\right) \]
Подставим известные значения: \( T = 8 \, \text{мс} = 8 \times 10^{-3} \, \text{с} \) и \( t = 2 \, \text{мс} = 2 \times 10^{-3} \, \text{с} \).
Сначала вычислим \( \frac{2\pi}{T} \):
\[ \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8 \times 10^{-3}} = \frac{2\pi}{0.008} \approx 785.4 \, \text{рад/с} \]
Теперь подставим это значение в формулу для \( Q(2 \, \text{мс}) \):
\[ Q(2 \, \text{мс}) = Q_0 \cos(785.4 \times 2 \times 10^{-3}) \]
Посчитаем аргумент косинуса:
\[ 785.4 \times 2 \times 10^{-3} \approx 1.57 \, \text{рад} \]
Теперь найдем значение косинуса:
\[ Q(2 \, \text{мс}) \approx Q_0 \cos(1.57) \approx Q_0 \cdot 0 \]
Это означает, что заряд конденсатора в момент времени \( t = 2 \, \text{мс} \) минимален и равен 0.
- Период колебаний \( T \) контура определяется как
\[ T = 2\pi \sqrt{LC} \]
где \( L \) – индуктивность, \( C \) – емкость. Если период уменьшился в 4 раза, то
\[ T' = \frac{T}{4} \]
Считаем новый период:
\[ T' = 2\pi \sqrt{L C'} \]
Приравняем формулы:
\[ \frac{T}{4} = 2\pi \sqrt{L C'} \]
Известно, что \( C' = \frac{C}{k} \), где \( k \) – коэффициент уменьшения ёмкости. Таким образом,
\[ \frac{C}{4} = C' \Rightarrow k = 4 \]
Следовательно, ёмкость конденсатора уменьшилась в 4 раза.
- Амплитуда тока в колебательном контуре связана с амплитудой напряжения через реактивные сопротивления:
\[ I = \frac{U}{Z} \]
Где \( Z \) - полное реактивное сопротивление контура. Поскольку мы пренебрегаем активным сопротивлением, полное реактивное сопротивление \( Z \) можно выразить через индуктивность \( L \) и ёмкость \( C \):
\[ Z = \frac{1}{\omega C} \]
где \( \omega = \frac{2\pi}{T} \). Теперь найдем \( U \) с использованием известной амплитуды тока \( I = 80 \, \text{мА} = 0.08 \, \text{А} \):
Сначала вычислим \( \omega \):
\[ T = 2\pi \sqrt{LC} \Rightarrow T = 2\pi \sqrt{3 \cdot 2 \times 10^{-6}} \approx 0.00123 \, \text{с} \]
Теперь найдем \( \omega \):
\[ \omega \approx \frac{2\pi}{0.00123} \approx 511.44 \, \text{рад/с} \]
Подставляем в формулу для \( Z \):
\[ Z = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{511.44 \cdot 2 \times 10^{-6}} \approx 975.94 \, \Omega \]
Теперь можно найти амплитуду напряжения \( U \):
\[ U = I \cdot Z = 0.08 \cdot 975.94 \approx 78.07 \, \text{В} \]
Таким образом, амплитуда напряжения на конденсаторе составляет приблизительно 78.07 В.
