Вычислить значение измеряемого напряжения U и погрешность его измерения при следующих данных: - результаты наблюдений U,=43V,U,=46V,U,=45V,U,=44V,U§=47V; - доверительная вероятность Р=0,95; - систематическая погрешность результатов измерений напряжения(основная погрешность вольтметра) задана границами 0v=‡1%.

Question 1

Задача Задача №1999893

А

Аноним

24 октября 2024 10:15 · публичный вопрос

А

Аноним 24 октября 2024 10:15

Вычислить значение измеряемого напряжения U и погрешность его измерения при следующих данных: - результаты наблюдений U,=43V,U,=46V,U,=45V,U,=44V,U§=47V; - доверительная вероятность Р=0,95; - систематическая погрешность результатов измерений напряжения(основная погрешность вольтметра) задана границами 0v=‡1%.

Answer

Для вычисления измеряемого напряжения \( U \) и погрешности его измерения, мы сначала находим среднее значение напряжения по данным наблюдениям, затем рассчитываем погрешность и доверительный интервал.

Вычисление среднего значения:

Данные измерения: \[ U_1 = 43V, \quad U_2 = 46V, \quad U_3 = 45V, \quad U_4 = 44V, \quad U_5 = 47V \]

Среднее значение расчитаем по формуле: \[ U_{\text{ср}} = \frac{U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + U_5}{n} \] где \( n \) – количество измерений (в данном случае 5).

\[ U_{\text{ср}} = \frac{43 + 46 + 45 + 44 + 47}{5} = \frac{225}{5} = 45V \]

Вычисление стандартного отклонения:

Для начала, определим дисперсию: \[ D = \frac{\sum (U_i - U_{\text{ср}})^2}{n - 1} \] \[ D = \frac{(43 - 45)^2 + (46 - 45)^2 + (45 - 45)^2 + (44 - 45)^2 + (47 - 45)^2}{4} \] \[ = \frac{(-2)^2 + (1)^2 + (0)^2 + (-1)^2 + (2)^2}{4} = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \]

Стандартное отклонение: \[ \sigma = \sqrt{D} = \sqrt{2.5} \approx 1.58V \]

Определение стандартной ошибки: \[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1.58}{\sqrt{5}} \approx \frac{1.58}{2.236} \approx 0.707V \]
Погрешность измерений:

Систематическая погрешность составляет 1%. Для измеряемого значения 45V: \[ \Delta U_{\text{сист}} = 0.01 \times 45V = 0.45V \]

Общая погрешность: \[ \Delta U = \sqrt{SE^2 + \Delta U_{\text{сист}}^2} = \sqrt{(0.707)^2 + (0.45)^2} \approx \sqrt{0.499 + 0.2025} \approx \sqrt{0.7015} \approx 0.837V \]

Доверительный интервал:

Для уровня доверия \( P = 0.95 \) (при \( n = 5 \)), можно использовать \( t \)-распределение. Для \( n - 1 = 4 \) степени свободы и \( P = 0.95 \), значение \( t \approx 2.776 \).

Доверительный интервал: \[ U_{\text{ср}} \pm t \cdot SE = 45V \pm 2.776 \times 0.707V \approx 45V \pm 1.96V \]

Таким образом: \[ U_{\text{ср}} \approx 45V, \quad \Delta U \approx 0.837V \] Доверительный интервал: \( (43.04V, 46.96V) \)

Итак, окончательные результаты:

Измеряемое напряжение \( U \approx 45V \)
Погрешность измерения \( \Delta U \approx 0.837V \)

Question 2

Вычислить значение измеряемого напряжения U и погрешность его измерения при следующих данных: - результаты наблюдений U,=43V,U,=46V,U,=45V,U,=44V,U§=47V; - доверительная вероятность Р=0,95; - систематическая погрешность результатов измерений напряжения(основная погрешность вольтметра) задана границами 0v=‡1%.

Answer

Для вычисления измеряемого напряжения \( U \) и погрешности его измерения, мы сначала находим среднее значение напряжения по данным наблюдениям, затем рассчитываем погрешность и доверительный интервал. 1. **Вычисление среднего значения**: Данные измерения: \[ U_1 = 43V, \quad U_2 = 46V, \quad U_3 = 45V, \quad U_4 = 44V, \quad U_5 = 47V \] Среднее значение расчитаем по формуле: \[ U_{\text{ср}} = \frac{U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + U_5}{n} \] где \( n \) – количество измерений (в данном случае 5). \[ U_{\text{ср}} = \frac{43 + 46 + 45 + 44 + 47}{5} = \frac{225}{5} = 45V \] 2. **Вычисление стандартного отклонения**: Для начала, определим дисперсию: \[ D = \frac{\sum (U_i - U_{\text{ср}})^2}{n - 1} \] \[ D = \frac{(43 - 45)^2 + (46 - 45)^2 + (45 - 45)^2 + (44 - 45)^2 + (47 - 45)^2}{4} \] \[ = \frac{(-2)^2 + (1)^2 + (0)^2 + (-1)^2 + (2)^2}{4} = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \] Стандартное отклонение: \[ \sigma = \sqrt{D} = \sqrt{2.5} \approx 1.58V \] 3. **Определение стандартной ошибки**: \[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1.58}{\sqrt{5}} \approx \frac{1.58}{2.236} \approx 0.707V \] 4. **Погрешность измерений**: Систематическая погрешность составляет 1%. Для измеряемого значения 45V: \[ \Delta U_{\text{сист}} = 0.01 \times 45V = 0.45V \] Общая погрешность: \[ \Delta U = \sqrt{SE^2 + \Delta U_{\text{сист}}^2} = \sqrt{(0.707)^2 + (0.45)^2} \approx \sqrt{0.499 + 0.2025} \approx \sqrt{0.7015} \approx 0.837V \] 5. **Доверительный интервал**: Для уровня доверия \( P = 0.95 \) (при \( n = 5 \)), можно использовать \( t \)-распределение. Для \( n - 1 = 4 \) степени свободы и \( P = 0.95 \), значение \( t \approx 2.776 \). Доверительный интервал: \[ U_{\text{ср}} \pm t \cdot SE = 45V \pm 2.776 \times 0.707V \approx 45V \pm 1.96V \] Таким образом: \[ U_{\text{ср}} \approx 45V, \quad \Delta U \approx 0.837V \] Доверительный интервал: \( (43.04V, 46.96V) \) Итак, окончательные результаты: - Измеряемое напряжение \( U \approx 45V \) - Погрешность измерения \( \Delta U \approx 0.837V \)