Катер прошёл 12 км по течению реки и 4 км против течения, затратив на весь путь 2 с. Чему равна собственная скорость катера, если скорость течения равна 4 км/ч?
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим собственную скорость катера как \( v_k \) (в км/ч). Из условия знаем, что скорость течения реки равна 4 км/ч.
Скорость катера по течению: Когда катер движется по течению, его скорость будет равна сумме его собственной скорости и скорости течения: \[ v_{по течению} = v_k + 4 \]
Скорость катера против течения: Когда катер движется против течения, его скорость будет равна собственная скорость катера минус скорость течения: \[ v_{против течения} = v_k - 4 \]
Время в пути: Давайте выразим время, затраченное катером на каждую часть пути. По формуле \( t = \frac{s}{v} \):
Время на путь по течению (12 км): \[ t_{по течению} = \frac{12}{v_k + 4} \]
Время на путь против течения (4 км): \[ t_{против течения} = \frac{4}{v_k - 4} \]
По условию задачи известно, что общее время в пути равно 2 часа (или 2 с, если не уточнять единство времени):
\[ \frac{12}{v_k + 4} + \frac{4}{v_k - 4} = 2 \]
Решение уравнения: Теперь мы можем решить данное уравнение. Приведем его к общему виду. Умножим обе части уравнения на \((v_k + 4)(v_k - 4)\): \[ 12(v_k - 4) + 4(v_k + 4) = 2(v_k + 4)(v_k - 4) \]
Раскроем скобки: \[ 12v_k - 48 + 4v_k + 16 = 2(v_k^2 - 16) \] \[ 16v_k - 32 = 2v_k^2 - 32 \]
Переместим все в одну сторону: \[ 2v_k^2 - 16v_k = 0 \] \[ 2v_k(v_k - 8) = 0 \]
Таким образом, \( v_k = 0 \) или \( v_k = 8 \). Так как скорость не может быть равна 0, получаем: \[ v_k = 8 \text{ км/ч} \]
Ответ: Собственная скорость катера равна 8 км/ч.
