Тане надо решить 260 задач. Ежедневно она решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Таня решила 2 задачи. Определите, сколько задач решила Таня в последний день, если со всеми задачами она справилась за 13 дней.
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Тане нужно решить 260 задач за 13 дней. Это значит, что каждый день она решает все больше задач, начиная с 2 задач в первый день.
Пусть \( x \) — это количество задач, которое Таня решает на следующий день, больше чем в предыдущий. То есть:
- В первый день она решает 2 задачи.
- Во второй день она решит \( 2 + x \) задач.
- В третий день — \( 2 + 2x \) задач.
- В четвертый день — \( 2 + 3x \) задач.
- И так далее, пока не дойдем до 13-го дня.
Таким образом, количество задач, которые она решит в каждый из 13 дней, будет описываться следующим образом:
1-й день: \( 2 \)
2-й день: \( 2 + x \)
3-й день: \( 2 + 2x \)
4-й день: \( 2 + 3x \)
...
13-й день: \( 2 + 12x \)
Теперь, чтобы найти общее количество задач, которые она решает за 13 дней, мы можем записать уравнение: \[ 2 + (2 + x) + (2 + 2x) + (2 + 3x) + \ldots + (2 + 12x) = 260 \]
Сначала посчитаем, сколько задач решает Таня без учета прогрессии \( x \):
- У нас есть 13 дней, каждый из которых таня решает 2 задачи. Значит, всего за 13 дней она решит \( 2 \times 13 = 26 \) задач.
Теперь избавимся от этой постоянной части и сосчитаем только части, связанные с \( x \): \[ 26 + (0 + 1 + 2 + \ldots + 12)x = 260 \]
Сумма первых 12 натуральных чисел: \[ 0 + 1 + 2 + \ldots + 12 = \frac{12 \times (12 + 1)}{2} = 78 \]
Теперь подставим это в наше уравнение: \[ 26 + 78x = 260 \]
Переносим 26 в правую часть: \[ 78x = 260 - 26 \] \[ 78x = 234 \]
Теперь делим обе стороны на 78: \[ x = \frac{234}{78} = 3 \]
Теперь мы знаем, что Таня каждый день решает на 3 задачи больше, чем в предыдущий. Теперь можем найти, сколько задач она решает в последний (13-й) день: \[ 2 + 12x = 2 + 12 \times 3 = 2 + 36 = 38 \]
Таким образом, в последний день Таня решила 38 задач.
