Масса некоторой планеты в 3 раза меньше массы . Каков радиус этой планеты, если ускорение свободного падения на её поверхности, такое же как и на Земле
Для решения этой задачи воспользуемся формулами, которые связывают массу планеты, её радиус и ускорение свободного падения.
Ускорение свободного падения на поверхности планеты можно выразить через её массу и радиус с помощью формулы:
\[ g = \frac{G \cdot M}{R^2} \]
где:
- \( g \) — ускорение свободного падения (на Земле это примерно \( 9.81 \, м/с^2 \)),
- \( G \) — гравитационная постоянная (\( 6.674 \times 10^{-11} \, Н \cdot м^2/кг^2 \)),
- \( M \) — масса планеты,
- \( R \) — радиус планеты.
Дано, что масса планеты в 3 раза меньше массы Земли. Обозначим массу Земли как \( M_{\text{Земля}} \). Тогда:
\[ M = \frac{M_{\text{Земля}}}{3} \]
У нас также есть ускорение свободного падения, равное ускорению на Земле:
\[ g = \frac{G \cdot \frac{M_{\text{Земля}}}{3}}{R^2} \]
Подставив значение \( g \):
\[ 9.81 = \frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot \frac{M_{\text{Земля}}}{3}}{R^2} \]
Чтобы найти радиус \( R \), мы можем выразить его из данной формулы:
\[ R^2 = \frac{G \cdot \frac{M_{\text{Земля}}}{3}}{9.81} \]
Теперь можно подставить известные значения. Масса Земли примерно:
\[ M_{\text{Земля}} \approx 5.972 \times 10^{24} \, кг \]
Подставив в уравнение:
\[ R^2 = \frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot \frac{5.972 \times 10^{24}}{3}}{9.81} \]
Теперь, выполним расчёты:
Находим числитель: \[ 6.674 \times 10^{-11} \cdot \frac{5.972 \times 10^{24}}{3} \approx 1.32423 \times 10^{14} \]
Теперь делим на \( 9.81 \): \[ R^2 \approx \frac{1.32423 \times 10^{14}}{9.81} \approx 1.3497 \times 10^{13} \]
Затем извлечем корень квадратный, чтобы найти \( R \): \[ R \approx \sqrt{1.3497 \times 10^{13}} \approx 3.674 \times 10^6 \, м \]
Теперь переведем в километры:
\[ R \approx 3674 \, км \]
Таким образом, радиус этой планеты составляет примерно 3674 км.
