Найти объем параллелипида построенного на векторах a=(1;-2,1) b=(3; 2; 1) c=(1;0;-1)

Чтобы найти объем параллелепипеда, построенного на векторах \(\mathbf{a} = (1, -2, 1)\), \(\mathbf{b} = (3, 2, 1)\) и \(\mathbf{c} = (1, 0, -1)\), необходимо вычислить объем по формуле:

\[ V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| \]

где \(\mathbf{b} \times \mathbf{c}\) — это векторное произведение векторов \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\), а \(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})\) — скалярное произведение вектора \(\mathbf{a}\) с вектором, полученным из векторного произведения.

Шаг 1: Найдем векторное произведение \(\mathbf{b} \times \mathbf{c}\).

Сначала запишем векторы в виде матрицы:

\[ \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \]

Векторное произведение \(\mathbf{b} \times \mathbf{c}\) можно вычислить следующим образом:

\[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{pmatrix} i & j & k \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]

Теперь вычислим детерминант:

\[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = i \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} - j \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + k \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \]

Теперь найдем каждый из миноров:

1. \( \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = (2 \cdot -1) - (1 \cdot 0) = -2 \)
2. \( \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (3 \cdot -1) - (1 \cdot 1) = -3 - 1 = -4 \)
3. \( \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (3 \cdot 0) - (2 \cdot 1) = 0 - 2 = -2 \)

Теперь подставим полученные значения:

\[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = -2i + 4j - 2k = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Найдем скалярное произведение \(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})\).

Теперь подставим вектор \(\mathbf{a}\):

\[ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \]

Выражение скалярного произведения:

\[ 1 \cdot -2 + (-2) \cdot 4 + 1 \cdot -2 = -2 - 8 - 2 = -12 \]

Шаг 3: Найдем объем.

Объем \(V\) будет равен:

\[ V = | -12 | = 12 \]

Таким образом, объем параллелепипеда, построенного на векторах \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\), равен \(12\).