Угол между векторами а и b равен 30 градусов, |а|=|b|=1.найдите скалярное произведение (а-2b) (2а+b)

Чтобы найти скалярное произведение векторов \((\mathbf{a} - 2\mathbf{b})\) и \((2\mathbf{a} + \mathbf{b})\), начнём с вычисления каждого из векторов.

1. Скалярное произведение векторов: Скалярное произведение двух векторов можно выражать через их длины и угол между ними. Сначала напомним, что скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) вычисляется как: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta) \] Где \(\theta\) — это угол между векторами. Поскольку \(|\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 1\) и угол между ними равен \(30^\circ\), мы получаем: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(30^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

2. Выражаем векторы: Теперь у нас есть: \(\mathbf{a} - 2\mathbf{b}\) и \(2\mathbf{a} + \mathbf{b}\).

3. Находим скалярное произведение: Рассмотрим выражение: \[ (\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) \cdot (2\mathbf{a} + \mathbf{b}) \] Раскроем скобки с помощью дистрибутивного свойства скалярного произведения: \[ = \mathbf{a} \cdot (2\mathbf{a}) + \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - 2\mathbf{b} \cdot (2\mathbf{a}) - 2\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \] Это равно: \[ = 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}) + \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - 4(\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}) - 2(\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}) \] Поскольку \(|\mathbf{a}| = 1\) и \(|\mathbf{b}| = 1\), то \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = 1\) и \(\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 1\). Также заменяем \(\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}\) на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ = 2(1) + \frac{\sqrt{3}}{2} - 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 2(1) \] Упрощаем: \[ = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} - 2\sqrt{3} - 2 \] \[ = \frac{\sqrt{3}}{2} - 2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{4\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \((\mathbf{a} - 2\mathbf{b})\) и \((2\mathbf{a} + \mathbf{b})\) равно \(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\).