На сторонах BC и AD параллелограмма ABCD отложены равные отрезки BE и DF. Докажите что четырёхугольник EBFD - параллелограмм.

Чтобы доказать, что четырехугольник EBFD является параллелограммом, мы будем использовать свойства параллелограмма ABCD и равные отрезки BE и DF.

1. По определению, в параллелограмме ABCD стороны AB и CD параллельны, а стороны AD и BC также параллельны. Обозначим векторы:

   • \(\vec{AB} = \vec{u}\)
   • \(\vec{AD} = \vec{v}\)

2. Тогда можно записать векторы BE и DF следующим образом:

   • \( \vec{BE} = t \cdot \vec{u} \) (где \( t \) — длина отрезка BE)
   • \( \vec{DF} = t \cdot \vec{v} \)

3. Из равенства отрезков BE и DF следует, что \( \left| BE \right| = \left| DF \right| \) и, следовательно, \( t \cdot \left| \vec{u} \right| = t \cdot \left| \vec{v} \right| \).

4. Теперь рассмотрим векторы EB и DF. Поскольку BE и DF равны по длине и наполовину параллельны соответственно, можем утверждать, что:

   • \( \vec{EB} = \vec{E} - \vec{B} = \vec{A} + \vec{BE} - \vec{B} \)
   • \( \vec{FD} = \vec{F} - \vec{D} = \vec{D} + \vec{DF} - \vec{D} \)

5. Опираясь на свойства параллелограмма, мы можем заключить, что \( EB \parallel DF \) и \( EF \parallel BD \).

6. Раз стороны EB и DF параллельны, а также стороны EF и BD параллельны, значит, по определению, четырехугольник EBFD является параллелограммом.

В итоге, мы доказали, что четырехугольник EBFD является параллелограммом, поскольку его противоположные стороны равны и параллельны.