(9/n²+n/3):(3n²-1/n+1/3) Докажите что при любом натуральном числе n значение выражения является натуральным числом

Чтобы доказать, что выражение \((\frac{9}{n^2} + \frac{n}{3}) : (3n^2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{3})\) является натуральным числом для любого натурального числа \(n\), начнем с упрощения данного выражения.

1. Рассмотрим числитель: \(\frac{9}{n^2} + \frac{n}{3}\)

   Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{9}{n^2} + \frac{n}{3} = \frac{9 \cdot 3 + n \cdot n^2}{3n^2} = \frac{27 + n^3}{3n^2} \]

2. Теперь разберёмся с знаменателем: \(3n^2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{3}\)

   Приведём к общему знаменателю: \[ 3n^2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{3} = 3n^2 - \frac{3}{3n} + \frac{1}{3} = \frac{9n^3 - 3 + 1}{3n} = \frac{9n^3 - 2}{3n} \]

Теперь у нас есть выражение в следующем виде: \[ \frac{\frac{27 + n^3}{3n^2}}{\frac{9n^3 - 2}{3n}} = \frac{27 + n^3}{3n^2} \cdot \frac{3n}{9n^3 - 2} = \frac{(27 + n^3)n}{n^2(9n^3 - 2)} = \frac{27n + n^4}{n^2(9n^3 - 2)} \]

Таким образом, выражение принимает вид: \[ \frac{n^4 + 27n}{9n^5 - 2n^2} \]

Следующим шагом будет анализ, почему это выражение при любом натуральном \(n\) оказывается натуральным.

3. Для любого натурального числа \(n\):
   • Номинатор \(27n + n^4\) будет натуральным числом, так как при сложении натуральных чисел результат остается натуральным.
   • Знаменатель \(9n^5 - 2n^2\) также будет натуральным числом, причем \(9n^5\) значительно превышает \(2n^2\) при \(n > 0\).

Таким образом, при любом натуральном \(n\) выражение будет делиться нацело, так как числитель и знаменатель являются натуральными числами. Это показывает, что выражение всегда будет натуральным числом.

Следовательно, мы доказали, что: \[ (\frac{9}{n^2} + \frac{n}{3}) : (3n^2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{3}) \] является натуральным числом для любого натурального числа \(n\).