Решите неравенство: a) x ^ 2 + 2x - 48 < 0 д) 4x ^ 2 - 12x + 9 > 0 6) 2x ^ 2 - 7x + 6 > 0 e) 25x ^ 2 + 30x + 9 < 0 B) - x ^ 2 + 2x + 15 < 0 ж) - 10x ^ 2 + 9x > 0 r) - 5x ^ 2 + 11x…
Решите неравенство: a) x ^ 2 + 2x - 48 < 0 д) 4x ^ 2 - 12x + 9 > 0 6) 2x ^ 2 - 7x + 6 > 0 e) 25x ^ 2 + 30x + 9 < 0 B) - x ^ 2 + 2x + 15 < 0 ж) - 10x ^ 2 + 9x > 0 r) - 5x ^ 2 + 11x - 6 > 0 3) - 2x ^ 2 + 7x < 0
Давайте решим каждое из данных неравенств по порядку.
a) \(x^2 + 2x - 48 < 0\)
Для решения этого неравенства сначала найдем корни уравнения \(x^2 + 2x - 48 = 0\) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 \]
Корни уравнения:
\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 14}{2} = -8 \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 14}{2} = 6 \]
Теперь определим промежутки: \( (-\infty, -8), (-8, 6), (6, +\infty) \). Поскольку парабола открыта вверх (коэффициент при \(x^2\) положителен), неравенство выполняется в промежутке \( (-8, 6) \).
Ответ: \( -8 < x < 6 \).
д) \(4x^2 - 12x + 9 > 0\)
Найдем дискриминант:
\[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0 \]
Уравнение имеет единственный корень:
\[ x_1 = \frac{12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = 1.5 \]
Парабола открыта вверх, и неравенство больше нуля выполняется для всех \(x\) за исключением \(x = 1.5\).
Ответ: \(x < 1.5\) или \(x > 1.5\).
- \(2x^2 - 7x + 6 > 0\)
Найдем дискриминант:
\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1 \]
Корни:
\[ x_1 = \frac{7 - 1}{4} = 1.5, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{4} = 2 \]
Неравенство выполняется вне корней:
Ответ: \(x < 1.5\) или \(x > 2\).
e) \(25x^2 + 30x + 9 < 0\)
Дискриминант:
\[ D = 30^2 - 4 \cdot 25 \cdot 9 = 900 - 900 = 0 \]
Единственный корень:
\[ x_1 = \frac{-30}{2 \cdot 25} = -0.6 \]
Поскольку парабола открыта вверх, неравенство \(< 0\) не выполняется для любых \(x\).
Ответ: нет решений.
B) \(-x^2 + 2x + 15 < 0\)
Дискриминант:
\[ D = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 15 = 4 + 60 = 64 \]
Корни:
\[ x_1 = \frac{-2 - 8}{-2} = 5, \quad x_2 = \frac{-2 + 8}{-2} = -3 \]
Неравенство выполняется между корнями:
Ответ: \(-3 < x < 5\).
ж) \(-10x^2 + 9x > 0\)
Вынесем общий множитель:
\[ x(-10x + 9) > 0 \]
Корни:
\[ x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{9}{10} \]
Промежутки:
Ответ: \(0 < x < \frac{9}{10}\).
r) \(-5x^2 + 11x - 6 > 0\)
Дискриминант:
\[ D = 11^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-6) = 121 - 120 = 1 \]
Корни:
\[ x_1 = \frac{11 - 1}{10} = 1, \quad x_2 = \frac{11 + 1}{10} = 1.2 \]
Неравенство выполняется:
Ответ: \(1 < x < 1.2\).
- \(-2x^2 + 7x < 0\)
Вынесем общий множитель:
\[ x(-2x + 7) < 0 \]
Корни:
\[ x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{7}{2} \]
Неравенство выполняется:
Ответ: \(0 < x < \frac{7}{2}\).
Таким образом, мы решили все неравенства. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
