Для решения этой задачи мы можем использовать свойства касательных и треугольников.
- Свойство касательных: Касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны. То есть, отрезки AB и BC равны.
- Треугольник OAB: Мы имеем треугольник OAB, где угол AOB равен 60°, и OB равно 28 см. Поскольку AB и BC равны, мы можем обозначить их длину как x.
Теперь мы можем использовать закон косинусов в треугольнике OAB:
[
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(60^\circ)
]
Зная, что (\cos(60^\circ) = 0.5), подставим известные значения:
[
x^2 = OA^2 + 28^2 - 2 \cdot OA \cdot 28 \cdot 0.5
]
Таким образом, формула превращается в:
[
x^2 = OA^2 + 784 - 28 \cdot OA
]
Поскольку AB является касательной к окружности, мы знаем, что AB равен OB, следовательно:
[
x = 28
]
Теперь можем подставить значение x в уравнение:
[
28^2 = OA^2 + 784 - 28 \cdot OA
]
Решим это уравнение:
[
784 = OA^2 + 784 - 28 \cdot OA
]
Сократим 784 с обеих сторон:
[
0 = OA^2 - 28 \cdot OA
]
Выделим множитель:
[
OA(OA - 28) = 0
]
Это уравнение имеет два решения: (OA = 0) (что не имеет физического смысла) и (OA = 28).
Таким образом, получаем, что длина AO равна 28 см.
