3. Найдите значение выражения ((5 ^ 3) ^ 4 * 3 ^ 6)/(15 ^ 9 * 5 ^ 2 * 3 ^ - 4)
Чтобы найти значение выражения \(\frac{(5^3)^4 \cdot 3^6}{15^9 \cdot 5^2 \cdot 3^{-4}}\), начнём с упрощения каждого компонента.
Упростим числитель: \[ (5^3)^4 = 5^{3 \cdot 4} = 5^{12} \] Таким образом, числитель становится: \[ 5^{12} \cdot 3^6 \]
Теперь рассмотрим знаменатель. Первое, что нужно сделать, это выразить \(15\) через множители \(3\) и \(5\): \[ 15 = 3^1 \cdot 5^1 \quad \Rightarrow \quad 15^9 = (3^1 \cdot 5^1)^9 = 3^9 \cdot 5^9 \] Заменим \(15^9\) в знаменателе: \[ 15^9 \cdot 5^2 \cdot 3^{-4} = (3^9 \cdot 5^9) \cdot 5^2 \cdot 3^{-4} = 3^9 \cdot 5^{9 + 2} \cdot 3^{-4} = 3^9 \cdot 5^{11} \cdot 3^{-4} \] Теперь объединим степени \(3\): \[ 3^9 \cdot 3^{-4} = 3^{9 - 4} = 3^5 \] Таким образом, знаменатель становится: \[ 3^5 \cdot 5^{11} \]
Теперь мы можем записать наше выражение в более простой форме: \[ \frac{5^{12} \cdot 3^{6}}{3^{5} \cdot 5^{11}} = \frac{5^{12}}{5^{11}} \cdot \frac{3^{6}}{3^{5}} \] Упрощаем каждую часть: \[ \frac{5^{12}}{5^{11}} = 5^{12 - 11} = 5^1 = 5 \] И для степени \(3\): \[ \frac{3^{6}}{3^{5}} = 3^{6 - 5} = 3^1 = 3 \]
Соединим всё вместе: \[ 5 \cdot 3 = 15 \]
Таким образом, значение выражения \(\frac{(5^3)^4 \cdot 3^6}{15^9 \cdot 5^2 \cdot 3^{-4}}\) равно 15.
