Cos6x+sin^23x=0,75

Чтобы решить уравнение \( \cos 6x + \sin^2 3x = 0.75 \), давайте сначала разложим его на составляющие.

1. Перепишем уравнение: \[ \cos 6x = 0.75 - \sin^2 3x \]

2. Используем основное тригонометрическое тождество: Мы знаем, что \( \sin^2 3x + \cos^2 3x = 1 \), откуда можно выразить \( \sin^2 3x = 1 - \cos^2 3x \).

Заменим \( \sin^2 3x \) в уравнении: \[ \cos 6x = 0.75 - (1 - \cos^2 3x) \] \[ \cos 6x = 0.75 - 1 + \cos^2 3x \] \[ \cos 6x = \cos^2 3x - 0.25 \]

3. Принимем \( y = \cos 3x \), так что можем переписать уравнение как: \[ \cos 6x = y^2 - 0.25 \] Также можем выразить \( \cos 6x \) через \( y \) с помощью формулы двойного угла: \[ \cos 6x = 2y^2 - 1 \]

4. Сравниваем оба выражения: Таким образом, у нас есть: \[ 2y^2 - 1 = y^2 - 0.25 \] Теперь упростим это уравнение: \[ 2y^2 - 1 = y^2 - 0.25 \] \[ 2y^2 - y^2 = 1 - 0.25 \] \[ y^2 = 0.75 \] Следовательно: \[ y = \pm \sqrt{0.75} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]

5. Возвращаемся к \( \cos 3x \): Теперь у нас есть два случая:

• \( \cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \cos 3x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

6. Нахождение общих решений: Для \( \cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ 3x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 3x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Следовательно: \[ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3} \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3} \]

Для \( \cos 3x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ 3x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 3x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Следовательно: \[ x = \frac{5\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3} \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3} \]

7. Записываем все решения: Итак, общее множество решений уравнения: \[ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}, \quad x = \frac{11\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}, \quad x = \frac{5\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}, \quad x = \frac{7\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по этому решению или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!