(x^2-3)(x^2-4)(x^2-5)/(x^2-5)≥0

Чтобы решить неравенство \((x^2 - 3)(x^2 - 4)(x^2 - 5)/(x^2 - 5) \geq 0\), сначала упростим его:

1. Упростим дробь: Поскольку в числителе и знаменателе есть общий множитель \((x^2 - 5)\), при условии, что \(x^2 - 5 \neq 0\) (то есть \(x \neq \pm\sqrt{5}\)), мы можем упростить неравенство до: \[ (x^2 - 3)(x^2 - 4) \geq 0. \]

2. Найдем корни неравенства: Корни уравнений \(x^2 - 3 = 0\) и \(x^2 - 4 = 0\):

   • \(x^2 - 3 = 0\) даёт \(x = \pm\sqrt{3}\).
   • \(x^2 - 4 = 0\) даёт \(x = \pm 2\).

   Теперь у нас есть критические точки: \(-\sqrt{3}\), \(-2\), \(2\) и \(\sqrt{3}\).

3. Построим числовую прямую: На числовой прямой отмечаем критические точки: \[ -\sqrt{3} \quad -2 \quad 2 \quad \sqrt{3}. \]

4. Определим интервалы и знаки: Мы рассматриваем следующие интервалы:

   • \((-\infty, -2)\)
   • \((-2, -\sqrt{3})\)
   • \((-\sqrt{3}, 2)\)
   • \((2, \sqrt{3})\)
   • \((\sqrt{3}, +\infty)\)

   Теперь проанализируем знак продукта \((x^2 - 3)(x^2 - 4)\) в каждом интервале:

   • В интервале \((-\infty, -2)\): оба множителя положительны. Продукт положителен.
   • В интервале \((-2, -\sqrt{3})\): \(x^2 - 4 < 0\) и \(x^2 - 3 < 0\). Продукт положителен.
   • В интервале \((-\sqrt{3}, 2)\): оба множителя отрицательны. Продукт отрицателен.
   • В интервале \((2, \sqrt{3})\): \(x^2 - 4 > 0\) и \(x^2 - 3 < 0\). Продукт отрицателен.
   • В интервале \((\sqrt{3}, +\infty)\): оба множителя положительны. Продукт положителен.

5. Исключим несоответствующие значения: Мы также должны учесть, что \(x = \pm\sqrt{5}\) не подходит, так как приводит к делению на ноль.

6. Запишем окончательное решение: Продукт положителен или равен нулю на интервалах: \[ (-\infty, -2] \cup [-\sqrt{3}, \sqrt{3}] \cup [2, +\infty). \]

   Таким образом, мы получили, что решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -2] \cup [-\sqrt{3}, \sqrt{3}] \cup [2, +\infty). \]

Это решение будет соответствовать всем значениям \(x\), при которых исходное неравенство выполняется.