Фотон с энергией 0,4 МэВ рассеялся под углом 90° на свободном электроне. Определить энергию рассеянного фотона и кинетическую энергию электрона отдачи
Для решения этой задачи можно использовать закон сохранения энергии и закон сохранения импульса. Фотон с энергией \( E_{\gamma} = 0.4 \, \text{МэВ} \) рассеивается под углом \( 90° \) на свободном электроне.
Энергия рассеянного фотона:
Начальная энергия фотона равна \( E_{\gamma} + E_{\text{кин}} \), где \( E_{\text{кин}} \) — кинетическая энергия электрона до столкновения. Поскольку электрон изначально покоится, его кинетическая энергия равна нулю, то есть \( E_{\text{кин}} = 0 \).
После рассеяния часть энергии передаётся электрону. Энергия фотона после рассеяния будет обозначаться как \( E'_{\gamma} \). С учетом того, что нагруженный электрон приобретает некоторую кинетическую энергию, мы можем записать закон сохранения энергии:
\[ E_{\gamma} = E'_{\gamma} + E_{\text{кин, отд}} \]
Здесь \( E_{\text{кин, отд}} \) — это кинетическая энергия электрона отдачи.
Определение кинетической энергии электрона:
С помощью закона сохранения импульса можно определить, как связаны энергия и импульс фотона и электрона. Импульс фотона до столкновения равен \( p_{\gamma} = \frac{E_{\gamma}}{c} \), где \( c \) — скорость света. Но для наш такой задачи это может быть сложнее.
Воспользуемся уравнением комптоновского рассеяния:
\[ \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos \theta) \]
Здесь \( \lambda \) — длина волны фотона до рассеяния, \( \lambda' \) — длина волны после рассеяния, \( h \) — постоянная Планка, \( m_e \) — масса электрона, а \( \theta = 90° \).
Преобразовав это уравнение, учитываем, что:
\[ \cos 90° = 0 \]
Упрощаем:
\[ \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c} \]
Мы знаем, что \( E = \frac{hc}{\lambda} \), и можно выразить длины волн через энергии:
\[ \lambda = \frac{hc}{E_{\gamma}}, \quad \lambda' = \frac{hc}{E'_{\gamma}} \]
Подставив в уравнение:
\[ \frac{hc}{E'_{\gamma}} - \frac{hc}{E_{\gamma}} = \frac{h}{m_e c} \]
Убирая \( hc \):
\[ \frac{1}{E'_{\gamma}} - \frac{1}{E_{\gamma}} = \frac{1}{m_e c^2} \]
Теперь можем выразить \( E'_{\gamma} \):
\[ E'_{\gamma} = \frac{E_{\gamma}}{1 + \frac{E_{\gamma}}{m_e c^2}} \]
Подставляя известные значения (масса электрона \( m_e \approx 0.511 \, \text{МэВ/c}^2 \)) и подставляя \( E_{\gamma} = 0.4 \, \text{МэВ} \):
\[ E'_{\gamma} = \frac{0.4}{1 + \frac{0.4}{0.511}} \approx \frac{0.4}{1 + 0.781} \approx \frac{0.4}{1.781} \approx 0.224 \, \text{МэВ} \]
Кинетическая энергия электрона отдачи:
Теперь можем найти кинетическую энергию электрона отдачи:
\[ E_{\text{кин, отд}} = E_{\gamma} - E'_{\gamma} = 0.4 - 0.224 = 0.176 \, \text{МэВ} \]
Таким образом, энергия рассеянного фотона составляет примерно \( 0.224 \, \text{МэВ} \), а кинетическая энергия электрона отдачи составляет \( 0.176 \, \text{МэВ} \).
