1/x + 1/x+3 = 1/2

Чтобы решить уравнение \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{2}\), начнем с нахождения общего знаменателя для дробей с левой стороны уравнения. Общим знаменателем будет \(x(x + 3)\).

Перепишем каждую дробь с учетом общего знаменателя:

\[ \frac{x + 3}{x(x + 3)} + \frac{x}{x(x + 3)} = \frac{1}{2} \]

Сложим дроби с левой стороны:

\[ \frac{x + 3 + x}{x(x + 3)} = \frac{1}{2} \]

Это можно упростить до:

\[ \frac{2x + 3}{x(x + 3)} = \frac{1}{2} \]

Теперь мы можемCross-multiply (перекрестное умножение):

\[ 2(2x + 3) = x(x + 3) \]

Раскроем скобки:

\[ 4x + 6 = x^2 + 3x \]

Теперь приведем все к одной стороне уравнения:

\[ 0 = x^2 + 3x - 4x - 6 \]

Упростим это:

\[ 0 = x^2 - x - 6 \]

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Чтобы найти его корни, можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -6\). Подставим эти значения в формулу:

\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} \]

Это упрощается до:

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \]

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \]

\[ x = \frac{1 \pm 5}{2} \]

Теперь найдём два возможных значения:

1. \(x = \frac{6}{2} = 3\)
2. \(x = \frac{-4}{2} = -2\)

Таким образом, решения уравнения \(x = 3\) и \(x = -2\).

Теперь убедимся, что обе эти величины не приведут к делению на ноль в исходном уравнении:

1. При \(x = 3\): \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) — решение верно.
2. При \(x = -2\): \(\frac{1}{-2} + \frac{1}{1} = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}\) — решение тоже верно.

Окончательные решения: \(x = 3\) и \(x = -2\).