3(2x-1)^4-16(2x-1)^2+16=0 решить уравнение методом равносильных преобразований

Для решения уравнения \( 3(2x-1)^4 - 16(2x-1)^2 + 16 = 0 \) с использованием метода равносильных преобразований, давайте введем замену переменной. Обозначим \( y = (2x-1)^2 \). Таким образом, уравнение можно переписать как:

\[ 3y^2 - 16y + 16 = 0 \]

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Для его решения воспользуемся формулой дискриминанта. Сначала находим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 256 - 192 = 64 \]

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{16 \pm 8}{6} \]

Это дает нам два значения для \( y \):

1. \( y_1 = \frac{16 + 8}{6} = \frac{24}{6} = 4 \)
2. \( y_2 = \frac{16 - 8}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \)

Теперь возвращаемся к нашей замене \( y = (2x-1)^2 \).

Для \( y_1 = 4 \):

\[ (2x-1)^2 = 4 \]

Извлекаем корень:

\[ 2x-1 = \pm 2 \]

Решаем обе ситуации:

1. \( 2x - 1 = 2 \) \(\Rightarrow\) \( 2x = 3 \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{3}{2} \)
2. \( 2x - 1 = -2 \) \(\Rightarrow\) \( 2x = -1 \) \(\Rightarrow\) \( x = -\frac{1}{2} \)

Теперь переходим к второму корню \( y_2 = \frac{4}{3} \):

\[ (2x-1)^2 = \frac{4}{3} \]

Извлекаем корень:

\[ 2x-1 = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \]

Решаем обе ситуации:

1. \( 2x - 1 = \frac{2}{\sqrt{3}} \) \(\Rightarrow\) \( 2x = 1 + \frac{2}{\sqrt{3}} \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} \)
2. \( 2x - 1 = -\frac{2}{\sqrt{3}} \) \(\Rightarrow\) \( 2x = 1 - \frac{2}{\sqrt{3}} \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}} \)

Таким образом, у нас есть четыре решения уравнения:

1. \( x = \frac{3}{2} \)
2. \( x = -\frac{1}{2} \)
3. \( x = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} \)
4. \( x = \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}} \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другой темой, не стесняйтесь спрашивать!