3(2x-1)^4-16(2x-1)^2+16=0 решить уравнение методом равносильных преобразований

Решим уравнение \( 3(2x-1)^4 - 16(2x-1)^2 + 16 = 0 \) методом равносильных преобразований.

1. Обозначим переменную: Пусть \( y = (2x - 1)^2 \). Тогда уравнение преобразуется в: \[ 3y^2 - 16y + 16 = 0 \]

2. Решим квадратное уравнение: Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 3 \), \( b = -16 \), \( c = 16 \). \[ D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 256 - 192 = 64 \]

3. Найдём корни уравнения: Корни можно найти по формуле: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ y = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{16 \pm 8}{6} \] Находим два корня:

   1. \( y_1 = \frac{24}{6} = 4 \)
   2. \( y_2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \)

4. Вернёмся к переменной \( x \): Вспоминаем, что \( y = (2x - 1)^2 \). Теперь подставим значения \( y_1 \) и \( y_2 \) и найдём \( x \).

   Для \( y_1 = 4 \): \[ (2x - 1)^2 = 4 \] Извлечём квадратный корень: \[ 2x - 1 = 2 \quad \text{или} \quad 2x - 1 = -2 \] Это даёт: \[ 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} \] \[ 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} \]

   Для \( y_2 = \frac{4}{3} \): \[ (2x - 1)^2 = \frac{4}{3} \] Извлечём квадратный корень: \[ 2x - 1 = \frac{2}{\sqrt{3}} \quad \text{или} \quad 2x - 1 = -\frac{2}{\sqrt{3}} \] Это даёт два дополнительных значения: \[ 2x = 1 + \frac{2}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ 2x = 1 - \frac{2}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}} \]

5. Ответ: Все корни уравнения: \[ x_1 = \frac{3}{2}, \quad x_2 = -\frac{1}{2}, \quad x_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad x_4 = \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Если есть дополнительные вопросы или нужно больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать!