1. Дан треугольник АВС, Е АВ, К с ВС, ВE:ВА = ВК :ВC = 2 : 5. Через прямую АС проходит плоскость а, не совпадающая с плоскостью треугольника АВС. a) Докажите, что ЕК || a. б)…

a) Чтобы доказать, что отрезки \( ЕК \) и прямая \( a \) параллельны, воспользуемся свойством подобия треугольников. Из условия задачи известно, что \( \frac{ВА}{ВК} = \frac{2}{5} \) и \( \frac{ВК}{ВC} = \frac{5}{5} \) (второе отношение следует из того, что если \( ВК \) – это часть отрезка \( BC \), то \( ВC \) будет равно \( ВК + КС \), и мы можем рассмотреть \( ВC \) как ставшую 5 для простоты).

Подходящим этапом будет установить точки \( E \) и \( K \) как точки на отрезках \( AB \) и \( BC \), соответственно. Поскольку \( \frac{ВА}{ВК} = \frac{2}{5} \), можем сказать, что: \[ ВА = 2k \] \[ ВК = 5k \] где \( k \) - некоторая положительная величина. В итоге мы получаем, что \( АВ + BC = 2k + 5k = 7k \), что позволяет установить пропорции и, таким образом, обеспечить параллельность прямой \( a \) и отрезка \( ЕК \) из-за сохранения наклонов соответствующих отрезков.

При этом, учитывая, что плоскость \( a \) проходит через прямую \( AC \) и не совпадает с плоскостью треугольника \( ABC \), отрезки \( ЕK \) и \( a \) являются параллельными. Тем самым утверждение доказано.

б) Для нахождения длины отрезка \( AC \), используя известное значение отрезка \( ЕК = 4 \) см, необходимо воспользоваться тем фактом, что отрезок \( ЕК \) будет как раз равен той части, которая пропорциональна отношению отрезков \( ВА \) и \( ВК \). Мы можем создать необходимую пропорцию:

Если: \[ \frac{ЕК}{АС} = \frac{ВА}{АВ + BC} \] то можно записать: \[ \frac{4}{АС} = \frac{2}{2 + 5} = \frac{2}{7} \]

Теперь, перемножив, получаем: \[ 4 \cdot 7 = 2 \cdot AC \] \[ 28 = 2 \cdot AC \]

Следовательно, делим обе стороны на 2: \[ AC = 14 \text{ см} \]

Таким образом, длина отрезка \( AC \) равна 14 см.