Ящик массой 5 кг, стоящий на полу, начинают тянуть с помощью троса, расположенного под углом 30° к полу, причём зависимость величины силы, приложенной к ящику со стороны троса, от времени определяется уравнением F(t) = 0,6t (СИ). Определи, через какое время после начала действия силы ящик придёт в движение, если коэффициент трения скольжения равен 0,3. (Ответ округли до целых.) Ответ:
Для решения данной задачи начнём с анализа сил, действующих на ящик.
Силы, действующие на ящик:
Вес ящика (сила тяжести): \( P = mg \), где \( m = 5 \, \text{кг} \), \( g \approx 9,81 \, \text{м/с}^2 \). \[ P = 5 \, \text{кг} \times 9,81 \, \text{м/с}^2 = 49,05 \, \text{Н} \]
Нормальная сила \( N \), действующая на ящик, будет изменяться под воздействием силы \( F(t) \). Сила, приложенная к ящику, можно разложить на компоненты:
- Горизонтальная компонента: \( F_x = F(t) \cdot \cos(30^\circ) \)
- Вертикальная компонента: \( F_y = F(t) \cdot \sin(30^\circ) \)
Угол 30° соответствует следующим значениям косинуса и синуса: \[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \]
Таким образом, нормальная сила вычисляется как: \[ N = P - F_y = mg - F(t) \cdot \sin(30^\circ) = mg - 0,6t \cdot \frac{1}{2} \] \[ N = 49,05 - 0,3t \]
Сила трения: Сила трения скольжения \( F_{\text{тр}} \) равна: \[ F_{\text{тр}} = \mu \cdot N = 0,3 \cdot (49,05 - 0,3t) \] \[ F_{\text{тр}} = 14,715 - 0,09t \]
Условие начала движения: Ящик начнёт двигаться, когда горизонтальная компонента силы, \( F_x \), станет больше силы трения: \[ F(t) \cdot \cos(30^\circ) > F_{\text{тр}} \] Подставляем известные значения: \[ 0,6t \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} > 14,715 - 0,09t \] Упростим неравенство: \[ 0,3\sqrt{3}t > 14,715 - 0,09t \] \[ (0,3\sqrt{3} + 0,09)t > 14,715 \]
Находим t: Сначала вычислим значение \( 0,3\sqrt{3} \): \[ 0,3\sqrt{3} \approx 0,5196 \] Поэтому: \[ (0,5196 + 0,09)t > 14,715 \] \[ 0,6096t > 14,715 \] \[ t > \frac{14,715}{0,6096} \approx 24,13 \]
Округляем до целых: \[ t \approx 24 \, \text{с} \]
Таким образом, ящик начнёт двигаться через примерно 24 секунды после начала действия силы.
