Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 75. Реши с Дано
Давайте рассмотрим задачу, шаг за шагом. Нам даны следующие условия:
- Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1:3, считая от вершины острого угла.
- Периметр параллелограмма равен 75.
Обозначим стороны параллелограмма как \( a \) (большая сторона) и \( b \) (меньшая сторона). Периметр параллелограмма можно выразить как:
\[ P = 2a + 2b = 75 \]
Отсюда можно выразить соотношение между сторонами:
\[ a + b = 37.5 \quad (1) \]
Теперь, учитывая, что биссектриса тупого угла делит противоположную сторону в отношении 1:3, можно обозначить среднюю точку, в которой биссектриса пересекает сторону \( b \), как точку \( D \). Пусть точка \( D \) делит сторону на части \( 1x \) и \( 3x \). Тогда длина стороны, в которой находится точка \( D \), будет равна:
\[ x + 3x = 4x \]
Таким образом, можно записать соотношение:
\[ b = 4x \]
Теперь мы знаем, что точка \( D \) делит \( b \) в отношении 1:3, что следует из свойств биссектрисы. Если мы обратим внимание на аналогичные треугольники в параллелограмме, из них можно вывести, что:
\[ \frac{a}{b} = \frac{1}{3} \]
Подставив \( b = 4x \) в это уравнение, получим:
\[ \frac{a}{4x} = \frac{1}{3} \]
Отсюда находим \( a \):
\[ a = \frac{4x}{3} \]
Теперь подставим \( a \) и \( b \) в уравнение (1):
\[ \frac{4x}{3} + 4x = 37.5 \]
Чтобы избавиться от дроби, умножим всё уравнение на 3:
\[ 4x + 12x = 112.5 \]
Сложим подобные:
\[ 16x = 112.5 \]
Теперь разделим обе стороны на 16:
\[ x = 7.03125 \]
Теперь вычислим стороны \( a \) и \( b \):
\[ b = 4x = 4 \cdot 7.03125 = 28.125 \] \[ a = \frac{4x}{3} = \frac{4 \cdot 7.03125}{3} = 9.375 \]
Теперь, чтобы найти большую сторону \( a \):
Периметр:
\[ 2a + 2b = 75 \]
Проверим:
Тогда подставляем обратно:
\[ a + b = 37.5 \] \[ 28.125 + 9.375 = 37.5 \]
Ответ:
Большая сторона параллелограмма равна 28.125.
