Даны точки А (4;-5;6) В я(-3;2;-4) С (-4;0;3) D(0;-3;-5) Найти 5) угол между векторами AC и DB 6) (CB+AD)• BA

Чтобы найти угол между векторами AC и DB, а также вычислить (CB + AD) • BA, давайте пошагово решим эти задачи.

1. Угол между векторами AC и DB

Шаг 1: Найдем векторы AC и DB.

Вектор AC можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки C:

\[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-4; 0; 3) - (4; -5; 6) = (-4 - 4; 0 - (-5); 3 - 6) = (-8; 5; -3) \]

Вектор DB можно найти, вычитая координаты точки B из координат точки D:

\[ \overrightarrow{DB} = B - D = (-3; 2; -4) - (0; -3; -5) = (-3 - 0; 2 - (-3); -4 - (-5)) = (-3; 5; 1) \]

Шаг 2: Найдем угол между векторами AC и DB с помощью скалярного произведения.

Формула для нахождения угла между двумя векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB}}{|\overrightarrow{AC}| |\overrightarrow{DB}|} \]

Скалярное произведение AC и DB:

\[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} = (-8) \cdot (-3) + 5 \cdot 5 + (-3) \cdot 1 = 24 + 25 - 3 = 46 \]

Длина векторов:

\[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-8)^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 25 + 9} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \]

\[ |\overrightarrow{DB}| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 25 + 1} = \sqrt{35} \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ \cos(\theta) = \frac{46}{(7\sqrt{2})(\sqrt{35})} \]

Вычислим это значение и найдем угол:

\[ \theta = \arccos\left(\frac{46}{7\sqrt{70}}\right) \]

2. Вычисление (CB + AD) • BA

Шаг 1: Найдем векторы CB, AD и BA.

Вектор CB:

\[ \overrightarrow{CB} = B - C = (-3; 2; -4) - (-4; 0; 3) = (1; 2; -7) \]

Вектор AD:

\[ \overrightarrow{AD} = D - A = (0; -3; -5) - (4; -5; 6) = (-4; 2; -11) \]

Вектор BA:

\[ \overrightarrow{BA} = A - B = (4; -5; 6) - (-3; 2; -4) = (7; -7; 10) \]

Шаг 2: Найдем сумму векторов CB и AD:

\[ \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AD} = (1; 2; -7) + (-4; 2; -11) = (1 - 4; 2 + 2; -7 - 11) = (-3; 4; -18) \]

Шаг 3: Найдем скалярное произведение:

\[ (\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AD}) \cdot \overrightarrow{BA} = (-3; 4; -18) \cdot (7; -7; 10) \]

Вычисляем:

\[ = (-3) \cdot 7 + 4 \cdot (-7) + (-18) \cdot 10 = -21 - 28 - 180 = -229 \]

Ответы:

5. Угол между векторами AC и DB можно определить как \( \theta = \arccos\left(\frac{46}{7\sqrt{70}}\right) \).

6. Значение (CB + AD) • BA равно -229.

Если есть вопросы или нужно более глубокое разъяснение, всегда рад помочь!