Моторная лодка проплыла 49 км против течении реки и 8 км по озеру потратив на весь путь 2 часа. найдите собственную скорость лодки если скорость течения реки состовляет 4 км/ч
Давайте решим задачу о моторной лодке, используя известные данные.
Известно, что лодка проплыла 49 км против течения реки и 8 км по озеру, потратив на весь путь 2 часа. Также мы знаем, что скорость течения реки составляет 4 км/ч.
Обозначим:
- \( V \) — собственная скорость лодки (в км/ч).
- Скорость лодки против течения реки будет \( V - 4 \) км/ч (так как течению реки нужно вычесть из скорости лодки).
- Скорость лодки по озеру будет просто \( V \) км/ч, так как течения там нет.
Теперь найдём время, затраченное на каждую часть пути.
Время в пути против течения:
\[ t_1 = \frac{49}{V - 4} \]Время в пути по озеру:
\[ t_2 = \frac{8}{V} \]
Согласно условию задачи, общее время равно 2 часам: \[ t_1 + t_2 = 2 \]
Подставляем выражения для времени: \[ \frac{49}{V - 4} + \frac{8}{V} = 2 \]
Теперь решим это уравнение. Умножим обе части уравнения на \( V(V - 4) \) для устранения дробей: \[ 49V + 8(V - 4) = 2V(V - 4) \]
Распределим скобки и упростим уравнение: \[ 49V + 8V - 32 = 2V^2 - 8V \] \[ 57V - 32 = 2V^2 - 8V \]
Теперь переносим все в одну сторону уравнения: \[ 2V^2 - 8V - 57V + 32 = 0 \] \[ 2V^2 - 65V + 32 = 0 \]
Это квадратное уравнение, его можно решить с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-65)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 32 \] \[ D = 4225 - 256 = 3969 \]
Теперь находим корни: \[ V = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{65 \pm \sqrt{3969}}{4} \] \[ \sqrt{3969} = 63 \] \[ V = \frac{65 \pm 63}{4} \]
Теперь найдем два значения для \( V \):
- \( V_1 = \frac{128}{4} = 32 \)
- \( V_2 = \frac{2}{4} = 0.5 \)
Поскольку собственная скорость лодки не может быть 0.5 км/ч в данной ситуации, мы выбираем: \[ V = 32 \, \text{км/ч} \]
Таким образом, собственная скорость лодки составляет 32 км/ч.
