В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 28, острый угол равен 60°. Найдите ее периметр

Для решения задачи найдем периметр равнобедренной трапеции. У нас есть данные: основания равны 12 и 28, а острый угол равен 60°.

1. Обозначим основании:

   • Нижнее основание \( a = 28 \)
   • Верхнее основание \( b = 12 \)

2. Обозначим длины боковых сторон равнобедренной трапеции как \( c \).

3. Поскольку основание \( b \) меньше, найдем длину горизонтальных отрезков, которые соединяют верхнее основание с нижним: \[ d = \frac{a - b}{2} = \frac{28 - 12}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]

4. Теперь мы имеем прямоугольный треугольник, у которого:

   • одна сторона (горизонтальная) \( d = 8 \)
   • угол (острый) равен 60°.

5. Нам нужно найти длину боковой стороны \( c \). Используем тригонометрию: \[ \tan(60^\circ) = \frac{h}{d} \] где \( h \) — высота трапеции. \( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \), следовательно: \[ h = d \cdot \tan(60^\circ) = 8 \cdot \sqrt{3} \]

6. Чтобы найти длину боковой стороны \( c \), применим теорему Пифагора: \[ c = \sqrt{h^2 + d^2} = \sqrt{(8\sqrt{3})^2 + 8^2} = \sqrt{192 + 64} = \sqrt{256} = 16 \]

7. Теперь мы можем найти периметр \( P \) трапеции: \[ P = a + b + 2c = 28 + 12 + 2 \cdot 16 = 28 + 12 + 32 = 72 \]

Таким образом, периметр равнобедренной трапеции равен 72.