Реши

Привет! Давай разберёмся с заданием.

Задан следующий член последовательности: \[ a_n = \frac{{(2n+1)^2 - 1}}{{3^n}} \]

Нужно найти \( a_{n+1} \).

1. Выразим \( a_{n+1} \) на основе формулы для \( a_n \), заменяя \( n \) на \( n+1 \): \[ a_{n+1} = \frac{{(2(n+1)+1)^2 - 1}}{{3^{n+1}}} \]

2. Упрощаем числитель: \[ 2(n+1) + 1 = 2n + 2 + 1 = 2n + 3 \] \[ (2n + 3)^2 = 4n^2 + 12n + 9 \]

3. Подставляем в формулу: \[ a_{n+1} = \frac{{4n^2 + 12n + 9 - 1}}{{3^{n+1}}} \] \[ a_{n+1} = \frac{{4n^2 + 12n + 8}}{{3^{n+1}}} \]

Это соответствует третьему варианту ответа.

Ответ: \( a_{n+1} = \frac{{4n^2 + 12n + 8}}{{3^{n+1}}} \).