В равнобедренной трапеции большее основание равно 27, боковая сторона равна 8, угол между ними 60°. Найдите меньшее основание.

Чтобы найти меньшую сторону равнобедренной трапеции, можно использовать свойства трапеции и треугольников. Давайте обозначим:

• \( a = 27 \) (большее основание),
• \( b \) (меньшее основание),
• \( c = 8 \) (боковая сторона),
• \( \alpha = 60^\circ \) (угол между боковой стороной и большим основанием).

Рисуем трапецию и опускаем перпендикуляры из концов меньшего основания к большому основанию. Обозначим длину этих перпендикуляров как \( h \) (высота) и расстояние от концов меньшего основания до оснований перпендикуляров как \( x \).

Сначала найдем высоту \( h \) с помощью треугольника, образованного боковой стороной и перпендикуляром. Используя тригонометрию, мы можем записать:

\[ h = c \cdot \sin(\alpha) = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \]

Теперь найдём \( x \) (горизонтальную проекцию боковой стороны):

\[ x = c \cdot \cos(\alpha) = 8 \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \]

Теперь, зная, что общее расстояние от одной точки меньшего основания до ближней точки большего основания составляет \( a = 27 \), можем выразить связь для меньшего основания \( b \):

\[ b + 2x = a \] \[ b + 2 \cdot 4 = 27 \] \[ b + 8 = 27 \] \[ b = 27 - 8 = 19 \]

Таким образом, меньшее основание равнобедренной трапеции равно \( 19 \).