В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 24, а косинус угла, противолежащего данному катету, равен 2v10/7 Найдите гипотенузу и площадь треугольника.
В прямоугольном треугольнике, если один из катетов равен 24, а косинус угла, противолежащего данному катету, равен \( \frac{2\sqrt{10}}{7} \), мы можем найти гипотенузу и площадь треугольника, используя свойства тригонометрии и формулы для прямоугольного треугольника.
- Найдите гипотенузу:
Косинус угла \( A \), противолежащего катету \( a \) (где \( a = 24 \)), определяется как:
\[ \cos A = \frac{b}{c} \]
где \( b \) — это другой катет, а \( c \) — гипотенуза.
Из условия мы знаем:
\[ \cos A = \frac{2\sqrt{10}}{7} \]
Таким образом, можем выразить \( b \) через гипотенузу \( c \):
\[ b = c \cdot \cos A = c \cdot \frac{2\sqrt{10}}{7}. \]
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике:
\[ c^2 = a^2 + b^2. \]
Подставим известное значение \( a \) и \( b \):
\[ c^2 = 24^2 + \left(c \cdot \frac{2\sqrt{10}}{7}\right)^2. \]
Это дает нам:
\[ c^2 = 576 + c^2 \cdot \frac{4 \cdot 10}{49}. \]
Упростим уравнение:
\[ c^2 = 576 + \frac{40c^2}{49}. \]
Переносим все члены с \( c^2 \) в одну сторону:
\[ c^2 - \frac{40c^2}{49} = 576. \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ \frac{49c^2}{49} - \frac{40c^2}{49} = 576, \]
что упрощается до:
\[ \frac{9c^2}{49} = 576. \]
Умножим обе стороны на 49:
\[ 9c^2 = 576 \cdot 49. \]
Теперь найдем \( c^2 \):
\[ c^2 = \frac{576 \cdot 49}{9}. \]
Вычислим \( c^2 \):
\[ 576 \div 9 = 64, \]
и,
\[ c^2 = 64 \cdot 49 = 3136. \]
Теперь извлечем квадратный корень:
\[ c = \sqrt{3136} = 56. \]
Таким образом, гипотенуза \( c = 56 \).
- Найдите площадь треугольника:
Площадь \( S \) прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b. \]
Сначала найдем другой катет \( b \) из формулы для косинуса:
\[ b = 56 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{7} = 16\sqrt{10}. \]
Теперь можем найти площадь:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 16\sqrt{10} = 12 \cdot 16\sqrt{10} = 192\sqrt{10}. \]
Таким образом, гипотенуза равна 56, а площадь равна \( 192\sqrt{10} \).
