Михаил и Илья совместными усилиями написали сценарий спектакля за 12 ч. Если бы изначально они поделили сценарий пополам и каждый работал бы над своей частью, то Михаилу понадобилось бы на 9 ч больше времени, чем Илье. Сколько часов понадобилось бы каждому мальчику для написания сценария?
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим время, которое Илья затратит на написание своей части сценария, как \( t \) часов. Поскольку Михаилу нужно на 9 часов больше, его время можно обозначить как \( t + 9 \) часов.
Теперь, если они работают вместе, то их совместная работа занимает 12 часов. Поскольку работа выполняется совместно, мы можем использовать формулу для работы:
\[ \text{Скорость работы} = \frac{1}{t} + \frac{1}{t + 9} \]
Вместе они работают с общей скоростью, которая может быть записана как:
\[ \frac{1}{12} \]
Теперь мы можем записать уравнение:
\[ \frac{1}{t} + \frac{1}{t + 9} = \frac{1}{12} \]
Умножим всё уравнение на \( 12t(t + 9) \) для устранения дробей:
\[ 12(t + 9) + 12t = t(t + 9) \]
Раскроем скобки:
\[ 12t + 108 + 12t = t^2 + 9t \]
Соберём все члены в одну сторону:
\[ 0 = t^2 + 9t - 24t - 108 \]
Упростим:
\[ 0 = t^2 - 15t - 108 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 225 + 432 = 657 \]
Теперь найдём корни уравнения:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{657}}{2} \]
Приблизительно \( \sqrt{657} \approx 25.65 \), поэтому:
\[ t \approx \frac{15 \pm 25.65}{2} \]
Из этого мы имеем два возможных значения для \( t \):
- \( t \approx \frac{15 + 25.65}{2} \approx 20.325 \)
- \( t \approx \frac{15 - 25.65}{2} \) (это отрицательное значение, его отбрасываем)
Таким образом, \( t \approx 20.32 \) (округлив до двух знаков после запятой).
Теперь подставим значение \( t \) обратно, чтобы найти время Михаила:
\[ t + 9 \approx 20.32 + 9 \approx 29.32 \]
Итак, Илье понадобилось бы примерно 20.32 часа, а Михаилу — 29.32 часа для написания сценария.
