Линейкой измеряются размеры параллепипида 10см•20см•25см. Это масса измеряется на весах m=(39.02±0.05)кг. Чему равна его плотность? Чему равно абсолютная и относительная погрешность плотности

Чтобы найти плотность параллелепипеда, необходимо использовать формулу:

\[ \text{плотность} \, (\rho) = \frac{м}{{V}} \]

где \( m \) — масса, а \( V \) — объем.

Первым шагом найдем объем параллелепипеда:

\[ V = a \cdot b \cdot h, \]

где \( a = 10 \, см \), \( b = 20 \, см \), \( h = 25 \, см \).

Переведем размеры в метры:

\[ a = 0.1 \, м, \quad b = 0.2 \, м, \quad h = 0.25 \, м. \]

Теперь вычислим объем:

\[ V = 0.1 \cdot 0.2 \cdot 0.25 = 0.005 \, м^3. \]

Теперь можем вычислить плотность:

\[ \rho = \frac{39.02 \, кг}{0.005 \, м^3} = 7804 \, кг/м^3. \]

Для расчета погрешности плотности, сначала определим абсолютную погрешность объема. Для этого найдём погрешности в измерениях:

Измерения длины имеют погрешности, которые могут быть оценены как \( \Delta a = 0.01 \, см \), \( \Delta b = 0.01 \, см \), и \( \Delta h = 0.01 \, см \). Так, максимальная абсолютная погрешность объема может быть вычислена по формуле:

\[ \Delta V = V \cdot \left(\frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta h}{h}\right). \]

Теперь подставим значения:

\[ \Delta V = 0.005 \cdot \left(\frac{0.01}{0.1} + \frac{0.01}{0.2} + \frac{0.01}{0.25}\right). \]

Вычислим каждую часть:

\[ \frac{0.01}{0.1} = 0.1, \quad \frac{0.01}{0.2} = 0.05, \quad \frac{0.01}{0.25} = 0.04. \]

Суммируем:

\[ 0.1 + 0.05 + 0.04 = 0.19. \]

Теперь подставим это в формулу для \(\Delta V\):

\[ \Delta V = 0.005 \cdot 0.19 = 0.000945 \, м^3. \]

Теперь найдем абсолютную погрешность плотности. Плотность \( \rho \) зависит от массы и объема, так что погрешность плотности можно вычислить следующим образом:

\[ \Delta \rho = \rho \cdot \sqrt{\left(\frac{\Delta m}{m}\right)^2 + \left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2}, \]

где \( \Delta m = 0.05 \, кг \) — погрешность массы.

Подставим значения:

\[ \Delta \rho = 7804 \cdot \sqrt{\left(\frac{0.05}{39.02}\right)^2 + \left(\frac{0.000945}{0.005}\right)^2}. \]

Сначала вычислим каждую часть:

\[ \frac{0.05}{39.02} \approx 0.00128, \quad \frac{0.000945}{0.005} \approx 0.189. \]

Считаем квадрат суммы:

\[ \sqrt{(0.00128)^2 + (0.189)^2} \approx \sqrt{0.0000016384 + 0.035721} \approx \sqrt{0.035723} \approx 0.189. \]

Теперь подставляем это значение в формулу для \(\Delta \rho\):

\[ \Delta \rho \approx 7804 \cdot 0.189 \approx 1473.24 \, кг/м^3. \]

Таким образом, плотность и её погрешности:

1. Плотность: \(\rho = 7804 \, кг/м^3\).
2. Абсолютная погрешность плотности: \(\Delta \rho \approx 1473.24 \, кг/м^3\).
3. Относительная погрешность плотности:

\[ \frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{1473.24}{7804} \approx 0.188. \]

Итак, относительная погрешность в процентах:

\[ 0.188 \cdot 100 \approx 18.8\%. \]

В результате, мы имеем:

• Плотность: \( 7804 \, кг/м^3 \)
• Абсолютная погрешность плотности: \( \approx 1473.24 \, кг/м^3 \)
• Относительная погрешность плотности: \( \approx 18.8\% \)