В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 24, а косинус угла, противолежащего данному катету, равен 2v10 7 найдите гипотенузу и площадь треугольника.
В прямоугольном треугольнике один из катетов обозначим как \( a = 24 \), а косинус угла, противолежащего этому катету, равен \( \cos(B) = \frac{2\sqrt{10}}{7} \), где \(B\) - это угол, противолежащий катету \( a \).
Согласно определению косинуса, \[ \cos(B) = \frac{a}{c}, \] где \( c \) - это гипотенуза. Из этого уравнения можно выразить гипотенузу: \[ c = \frac{a}{\cos(B)}. \]
Теперь подставим известные значения: \[ c = \frac{24}{\frac{2\sqrt{10}}{7}} = 24 \cdot \frac{7}{2\sqrt{10}} = \frac{168}{2\sqrt{10}} = \frac{84}{\sqrt{10}}. \]
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{10} \): \[ c = \frac{84\sqrt{10}}{10} = \frac{42\sqrt{10}}{5}. \]
Теперь найдем второй катет \( b \) с использованием теоремы Пифагора: \[ c^2 = a^2 + b^2. \] Подставим известные значения: \[ \left(\frac{42\sqrt{10}}{5}\right)^2 = 24^2 + b^2. \] Вычислим левую часть уравнения: \[ \frac{1764 \cdot 10}{25} = 576 + b^2. \] Упростим: \[ \frac{17640}{25} = 576 + b^2. \] Переносим 576 влево: \[ \frac{17640}{25} - 576 = b^2. \] Приведем \( 576 \) к общему знаменателю: \[ 576 = \frac{14400}{25}, \] тогда: \[ b^2 = \frac{17640 - 14400}{25} = \frac{3240}{25}. \]
Теперь найдем \( b \): \[ b = \sqrt{\frac{3240}{25}} = \frac{\sqrt{3240}}{5} = \frac{\sqrt{36 \cdot 90}}{5} = \frac{6\sqrt{90}}{5} = \frac{6 \cdot 3\sqrt{10}}{5} = \frac{18\sqrt{10}}{5}. \]
Теперь можем найти площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot \frac{18\sqrt{10}}{5} = \frac{432\sqrt{10}}{5}. \]
Таким образом, результаты:
- Гипотенуза \( c \) равна \( \frac{42\sqrt{10}}{5} \).
- Площадь треугольника \( S \) равна \( \frac{432\sqrt{10}}{5} \).
