На тарелке лежат 12 пирожков с вишней, 8 с мясом и 5 с капустой. По очереди случайным образом берут три пирожка. Найдите вероятность того, что: 1) первый пирожок будет с вишней, второй - с капустой, третий - с мясом; 2) первый и второй пирожок будут с мясом, а третий - с вишней. Напишите подробное решение

Для решения задачи найдем общее количество пирожков и подсчитаем вероятность каждого случая.

Общее количество пирожков:

• с вишней: 12
• с мясом: 8
• с капустой: 5

Общее количество пирожков: \[ n = 12 + 8 + 5 = 25 \]

Теперь рассмотрим каждую из ситуаций.

1) Вероятность того, что первый пирожок будет с вишней, второй - с капустой, третий - с мясом.

1. Вероятность того, что первый пирожок с вишней: \[ P_1 = \frac{12}{25} \]

2. После того как взяли один пирожок с вишней, на тарелке осталось:

• с вишней: 11
• с мясом: 8
• с капустой: 5
• всего: 24 пирожка

Вероятность того, что второй пирожок будет с капустой: \[ P_2 = \frac{5}{24} \]

3. После того как взяли один пирожок с капустой, на тарелке осталось:

• с вишней: 11
• с мясом: 8
• с капустой: 4
• всего: 23 пирожка

Вероятность того, что третий пирожок будет с мясом: \[ P_3 = \frac{8}{23} \]

Таким образом, вероятность того, что первый пирожок с вишней, второй - с капустой, третий - с мясом, будет равна: \[ P = P_1 \times P_2 \times P_3 = \frac{12}{25} \times \frac{5}{24} \times \frac{8}{23} \] Теперь вычислим: \[ P = \frac{12 \times 5 \times 8}{25 \times 24 \times 23} = \frac{480}{13800} = \frac{24}{690} = \frac{4}{115} \]

2) Вероятность того, что первый и второй пирожок будут с мясом, а третий - с вишней.

1. Вероятность того, что первый пирожок с мясом: \[ P_1 = \frac{8}{25} \]

2. После того как взяли один пирожок с мясом, на тарелке осталось:

• с вишней: 12
• с мясом: 7
• с капустой: 5
• всего: 24 пирожка

Вероятность того, что второй пирожок будет с мясом: \[ P_2 = \frac{7}{24} \]

3. После того как взяли второй пирожок с мясом, на тарелке осталось:

• с вишней: 12
• с мясом: 6
• с капустой: 5
• всего: 23 пирожка

Вероятность того, что третий пирожок будет с вишней: \[ P_3 = \frac{12}{23} \]

Таким образом, вероятность того, что первый и второй пирожок будут с мясом, а третий - с вишней, будет равна: \[ P = P_1 \times P_2 \times P_3 = \frac{8}{25} \times \frac{7}{24} \times \frac{12}{23} \] Теперь вычислим: \[ P = \frac{8 \times 7 \times 12}{25 \times 24 \times 23} = \frac{672}{13800} = \frac{112}{2300} \]

Ответы:

1. Вероятность тому, что первый пирожок будет с вишней, второй - с капустой, третий - с мясом: \(\frac{4}{115}\).

2. Вероятность того, что первый и второй пирожок будут с мясом, а третий - с вишней: \(\frac{112}{2300}\).