3х/х2-х-2≤0
Решим неравенство \( \frac{3x}{x^2 - x - 2} \leq 0 \).
Найдём корни знаменателя.
Сначала упростим знаменатель \( x^2 - x - 2 \). Нужно решить квадратное уравнение: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Используем формулу для нахождения корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \).
Подставляем значения: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}. \] Таким образом, корни: \[ x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1. \]
Найдём нули числителя.
Числитель равен нулю, когда \( 3x = 0 \), откуда \( x = 0 \).
Построим множество значений.
Теперь у нас есть важные точки: \( -1 \), \( 0 \) и \( 2 \). Эти точки делят ось на промежутки:
- \( (-\infty, -1) \)
- \( (-1, 0) \)
- \( (0, 2) \)
- \( (2, +\infty) \)
Определим знак функции на каждом промежутке.
Выберем тестовые значения из каждого промежутка и определить знак выражения \( \frac{3x}{x^2 - x - 2} \):
- Для \( x = -2 \) (в промежутке \( (-\infty, -1) \)): \[ \frac{3(-2)}{(-2)^2 - (-2) - 2} = \frac{-6}{4 + 2 - 2} = \frac{-6}{4} < 0. \]
- Для \( x = -0.5 \) (в промежутке \( (-1, 0) \)): \[ \frac{3(-0.5)}{(-0.5)^2 - (-0.5) - 2} = \frac{-1.5}{0.25 + 0.5 - 2} = \frac{-1.5}{-1.25} > 0. \]
- Для \( x = 1 \) (в промежутке \( (0, 2) \)): \[ \frac{3(1)}{1^2 - 1 - 2} = \frac{3}{1 - 1 - 2} = \frac{3}{-2} < 0. \]
- Для \( x = 3 \) (в промежутке \( (2, +\infty) \)): \[ \frac{3(3)}{3^2 - 3 - 2} = \frac{9}{9 - 3 - 2} = \frac{9}{4} > 0. \]
Объединим результаты:
Мы ищем те промежутки, где выражение меньше или равно нулю:
- Первое промежуток \( (-\infty, -1) \): знак отрицательный.
- Второе промежуток \( (-1, 0) \): знак положительный.
- Третье промежуток \( (0, 2) \): знак отрицательный.
- Четвёртое промежуток \( (2, +\infty) \): знак положительный.
Итак, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -1] \cup [0, 2). \]
Это значит, что при \( x = -1 \) и \( x = 0 \) дробь равна нулю.
