X³-x²=81x-81

Чтобы решить уравнение \( x^3 - x^2 = 81x - 81 \), сначала перепишем его в стандартной форме, переместив все члены из правой части в левую:

\[ x^3 - x^2 - 81x + 81 = 0 \]

Теперь у нас есть кубическое уравнение, которое можно попробовать решить различными способами. Один из методов — поиск рациональных корней с помощью теоремы о рациональных корнях. Возможные рациональные корни могут быть \( \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27, \pm 81 \).

Давайте проверим, является ли какое-либо из этих значений корнем уравнения. Для начала попробуем \( x = 3 \):

\[ 3^3 - 3^2 - 81 \cdot 3 + 81 = 27 - 9 - 243 + 81 = 27 - 9 - 243 + 81 = -144 \quad (\text{не корень}) \]

Теперь попробуем \( x = 1 \):

\[ 1^3 - 1^2 - 81 \cdot 1 + 81 = 1 - 1 - 81 + 81 = 0 \quad (\text{это корень}) \]

Теперь, когда мы нашли корень \( x = 1 \), мы можем разделить полином \( x^3 - x^2 - 81x + 81 \) на \( x - 1 \) с помощью деления с остатком или методом группировки, чтобы найти оставшийся квадратный полином.

После деления получим:

\[ x^3 - x^2 - 81x + 81 = (x - 1)(x^2 - 80) \]

Теперь мы можем решить квадратное уравнение \( x^2 - 80 = 0 \):

\[ x^2 = 80 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{80} = \pm 4\sqrt{5} \]

Таким образом, все корни уравнения \( x^3 - x^2 - 81x + 81 = 0 \):

\[ x = 1, \quad x = 4\sqrt{5}, \quad x = -4\sqrt{5} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по этому материалу или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!