X³-x²=49x-49

Давайте решим уравнение \(x^3 - x^2 = 49x - 49\).

1. Сначала перепишем уравнение, переместив все члены в одну сторону:

\[ x^3 - x^2 - 49x + 49 = 0. \]

2. Теперь попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы Бурбакы. Можно подставить простые значения \(x\), такие как -1, 0, 1, 2, 3 и т.д., чтобы найти возможные корни.

3. Подставим значение \(x = 1\):

\[ 1^3 - 1^2 - 49 \cdot 1 + 49 = 1 - 1 - 49 + 49 = 0. \]

Это значит, что \(x = 1\) является корнем.

4. Теперь, используя деление многочленов, разделим \(x^3 - x^2 - 49x + 49\) на \(x - 1\):

   • При делении получим \(x^2 + 0 \cdot x - 49\), что означает, что:

\[ x^3 - x^2 - 49x + 49 = (x - 1)(x^2 - 49). \]

5. Упрощаем дальше. Заметим, что \(x^2 - 49\) можно разложить на множители, так как это разность квадратов:

\[ x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7). \]

6. Теперь мы можем записать все множители:

\[ x^3 - x^2 - 49x + 49 = (x - 1)(x - 7)(x + 7) = 0. \]

7. У нас есть три корня:

\[ x - 1 = 0 \implies x = 1, \\ x - 7 = 0 \implies x = 7, \\ x + 7 = 0 \implies x = -7. \]

Таким образом, корни уравнения \(x^3 - x^2 = 49x - 49\) равны \(x = 1\), \(x = 7\) и \(x = -7\). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно подробнее разобрать шаги, смело спрашивайте!