На координатной плоскости построить четырехугольник ABCD по точкам A(4; 6), B(-3; 4), C(-4; -2), D(3; 0). Проведите диагонали АС и BD. Найдите координаты точки пересечения диагоналей
Чтобы построить четырехугольник ABCD на координатной плоскости, начнем с указанных координат точек:
- Точка A(4; 6)
- Точка B(-3; 4)
- Точка C(-4; -2)
- Точка D(3; 0)
Построение четырехугольника:
- На координатной плоскости отметьте точки A, B, C и D по заданным координатам.
- Соедините точки A и B, B и C, C и D, D и A, чтобы получить четырехугольник ABCD.
Проведение диагоналей:
- Диагональ AC соединяет точки A(4; 6) и C(-4; -2).
- Диагональ BD соединяет точки B(-3; 4) и D(3; 0).
Нахождение координат точки пересечения диагоналей: Для нахождения точки пересечения диагоналей AC и BD, нам нужно найти уравнения прямых, заданных этими диагоналями.
Уравнение прямой AC:
- Найдем угловой коэффициент (k): \[ k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{-2 - 6}{-4 - 4} = \frac{-8}{-8} = 1 \]
- Используем точку A(4; 6) для составления уравнения прямой (y - y₁ = k(x - x₁)): \[ y - 6 = 1(x - 4) \Rightarrow y = x + 2 \]
Уравнение прямой BD:
- Найдем угловой коэффициент (k): \[ k_{BD} = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \frac{0 - 4}{3 - (-3)} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \]
- Используем точку B(-3; 4) для составления уравнения прямой: \[ y - 4 = -\frac{2}{3}(x + 3) \] \[ y - 4 = -\frac{2}{3}x - 2 \Rightarrow y = -\frac{2}{3}x + 2 \]
Нахождение точки пересечения: Теперь решим систему уравнений: \[ \begin{cases} y = x + 2 \\ y = -\frac{2}{3}x + 2 \end{cases} \]
Подставим \( y \) из первого уравнения во второе: \[ x + 2 = -\frac{2}{3}x + 2 \] Упростим уравнение, убрав 2: \[ x = -\frac{2}{3}x \Rightarrow x + \frac{2}{3}x = 0 \] \[ \frac{5}{3}x = 0 \Rightarrow x = 0 \]
Теперь найдем \( y \): \[ y = 0 + 2 = 2 \]
Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей AC и BD равны (0; 2).
