3cos x + 5 sin x =0

Для решения уравнения \(3\cos x + 5\sin x = 0\), начнем с того, чтобы выразить одну тригонометрическую функцию через другую.

1. Перепишем уравнение так, чтобы выделить одну из функций. Например, можно выразить \(\sin x\):

\[ 5\sin x = -3\cos x \]

2. Теперь разделим обе стороны на \(\cos x\) (при условии, что \(\cos x \neq 0\)):

\[ \frac{5\sin x}{\cos x} = -3 \]

Это можно переписать как:

\[ 5\tan x = -3 \]

3. Теперь решим это уравнение для \(\tan x\):

\[ \tan x = -\frac{3}{5} \]

4. Теперь, чтобы найти \(x\), мы используем обратную функцию тангенса:

\[ x = \tan^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right) \]

5. Учитывая период тангенса, который составляет \(\pi\), общий вид решений будет:

\[ x = \tan^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

6. Найдем конкретное значение угла, используя калькулятор или таблицы значений. Обычно \( \tan^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right) \) будет давать значение в четвертой четверти.

Итак, основное решение:

\[ x \approx -0.540 \text{ рад (или в градусах около -30.96°)} \]

И, следовательно, общее решение можно выразить как:

\[ x \approx -0.540 + k\pi \]

где \(k\) — целое число. Это даст все возможные углы, удовлетворяющие первоначальному уравнению.