Прямая y=-5x+8 является касательной к графику функции 28x²+bx+15 найдите b учитывая что абсцисса больше 0

Для нахождения значения \( b \), при котором прямая \( y = -5x + 8 \) является касательной к графику функции \( y = 28x^2 + bx + 15 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдём производную функции: \[ f(x) = 28x^2 + bx + 15 \] Производная этой функции равна: \[ f'(x) = 56x + b \]

2. Определим точку касания: Прямая будет касательной к графику функции, если в точке касания \( x_0 \) выполняется следующее условие: \[ f'(x_0) = -5 \]

3. Решим уравнение: Подставим значение производной: \[ 56x_0 + b = -5 \] Отсюда выражаем \( b \): \[ b = -5 - 56x_0 \]

4. Поиск y-координаты точки касания: Чтобы определить значение \( b \) окончательно, нужно также, чтобы прямая \( y = -5x + 8 \) проходила через точку касания. Значит, необходимо приравнять значения функции и прямой в точке \( x_0 \): \[ 28x_0^2 + bx_0 + 15 = -5x_0 + 8 \]

5. Подставим выражение для \( b \): Подставим \( b \) из шага 3 в уравнение и получите: \[ 28x_0^2 + (-5 - 56x_0)x_0 + 15 = -5x_0 + 8 \] Упростив, получим: \[ 28x_0^2 - 5x_0 - 56x_0^2 + 15 = -5x_0 + 8 \] Это упрощает до: \[ -28x_0^2 + 15 = 8 \] \[ -28x_0^2 = -7 \] \[ x_0^2 = \frac{1}{4} \] Поскольку абсцисса \( x_0 \) должна быть положительной, получаем: \[ x_0 = \frac{1}{2} \]

6. Теперь подставим \( x_0 \) в выражение для \( b \): \[ b = -5 - 56\left(\frac{1}{2}\right) = -5 - 28 = -33 \]

Таким образом, значение \( b \) равно \( -33 \).