Прямая у=-5х+8 является касательной к графику функции 28x²+bx+15 найдите b учитывая что абсцисса точки касания больше 0
Чтобы найти значение \( b \), при котором прямая \( y = -5x + 8 \) является касательной к графику функции \( f(x) = 28x^2 + bx + 15 \), следуем следующим шагам:
Найдем производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(28x^2 + bx + 15) = 56x + b \]
Условия касания: Так как прямая является касательной, значение производной функции в точке касания \( x_0 \) должно равняться угловому коэффициенту прямой. Это дает нам уравнение: \[ f'(x_0) = -5 \] Следовательно, \[ 56x_0 + b = -5 \quad (1) \]
Координаты точки касания: Значение функции в точке касания также должно совпадать с уравнением прямой: \[ f(x_0) = -5x_0 + 8 \] Подставляем \( f(x_0) \): \[ 28x_0^2 + bx_0 + 15 = -5x_0 + 8 \quad (2) \]
Приведем уравнение (2) к стандартному виду: \[ 28x_0^2 + bx_0 + 5x_0 + 15 - 8 = 0 \] Упрощаем: \[ 28x_0^2 + (b + 5)x_0 + 7 = 0 \quad (3) \]
Касательная линия: Для того чтобы прямая была касательной к функции, уравнение (3) должно иметь ровно одно решение, что достигается при равенстве дискриминанта нулю: \[ D = (b + 5)^2 - 4 \cdot 28 \cdot 7 = 0 \] Находим дискриминант: \[ (b + 5)^2 - 784 = 0 \] Решая это уравнение, получаем: \[ (b + 5)^2 = 784 \] \[ b + 5 = 28 \quad \text{или} \quad b + 5 = -28 \] Следовательно: \[ b = 23 \quad \text{или} \quad b = -33 \]
Выбор значения с учетом условия: Нам необходимо значение \( x_0 \) больше 0. Подставим оба значения \( b \) в уравнение (1) и найдем соответствующее \( x_0 \).
Для \( b = 23 \): \[ 56x_0 + 23 = -5 \Rightarrow 56x_0 = -28 \Rightarrow x_0 = -\frac{1}{2} \quad (\text{не подходит}) \]
Для \( b = -33 \): \[ 56x_0 - 33 = -5 \Rightarrow 56x_0 = 28 \Rightarrow x_0 = \frac{1}{2} \quad (\text{подходит, так как } x_0 > 0) \]
Итак, значение \( b \), при котором прямая \( y = -5x + 8 \) является касательной к функции \( 28x^2 + bx + 15 \) и абсцисса точки касания больше 0, равно: \[ \boxed{-33} \]
