Сократить дробь (3x ^ 2 + 16x - 12)/(10 - 15x - 3x ^ 2)

Чтобы сократить дробь \(\frac{3x^2 + 16x - 12}{10 - 15x - 3x^2}\), начнём с разложения числителя и знаменателя на множители.

1. Числитель: \(3x^2 + 16x - 12\)

   Найдем два числа, которые в сумме дают \(16\), а в произведении \(3 \cdot (-12) = -36\). Эти числа - \(18\) и \(-2\). Это позволяет нам разбить середину и записать числитель в виде:

   \[ 3x^2 + 18x - 2x - 12 = 3x(x + 6) - 2(x + 6) = (3x - 2)(x + 6) \]

   Таким образом, числитель \(3x^2 + 16x - 12\) можно записать как \((3x - 2)(x + 6)\).

2. Знаменатель: \(10 - 15x - 3x^2\)

   Приведём его к стандартному виду, чтобы сначала убрать знак перед \(x^2\):

   \[ -3x^2 - 15x + 10 = -1(3x^2 + 15x - 10) \]

   Теперь найдём корни для разложения \(3x^2 + 15x - 10\). Подберем корни, которые в сумме дают \(15\), а в произведении \(3 \cdot (-10) = -30\). Однако прямых корней здесь нет, поэтому закончить разложение не удастся столь просто.

   Вместо полного разложения можно воспользоваться дробями, чтобы увидеть, какие перспективы будут с общими множителями.

У нас получается дробь:

\[ \frac{(3x - 2)(x + 6)}{-1(3x^2 + 15x - 10)} \]

Подытожим:

Сократить дробь полностью не удается, но в целом дробь выглядит так:

\[ \frac{(3x - 2)(x + 6)}{-(3x^2 + 15x - 10)} \]

Таким образом, немного упрощая, можно записать:

\[ -\frac{(3x - 2)(x + 6)}{3x^2 + 15x - 10} \]

Это окончательная форма дроби, которая при необходимости может быть использована для дальнейших вычислений или анализа.