(log2 (2x²-17x+35)-1):(log7 (x+6)<=0
Чтобы решить неравенство \(\frac{\log_2(2x^2 - 17x + 35) - 1}{\log_7(x + 6)} \leq 0\), нужно разобрать его по частям.
Определение области определения.
- Логарифм \(\log_7(x + 6)\) определен, если \(x + 6 > 0\), то есть \(x > -6\).
- Для \(\log_2(2x^2 - 17x + 35)\) необходимо, чтобы \(2x^2 - 17x + 35 > 0\). Найдем корни данного квадратного уравнения:
\[ D = (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 35 = 289 - 280 = 9. \] \[ x_1 = \frac{17 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{17 - 3}{4} = \frac{14}{4} = 3.5, \] \[ x_2 = \frac{17 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{17 + 3}{4} = \frac{20}{4} = 5. \]
Квадратное уравнение \(2x^2 - 17x + 35 = 0\) имеет корни \(x_1 = 3.5\) и \(x_2 = 5\). Парабола направлена вверх, поэтому выражение \(2x^2 - 17x + 35 > 0\) для интервалов: \((-\infty, 3.5) \cup (5, +\infty)\).
Анализ неравенства. Теперь у нас есть следующие условия:
- \(x > -6\),
- \(x < 3.5\) или \(x > 5\) для \(2x^2 - 17x + 35 > 0\).
Объединим эти условия. Так как рамки \(x > -6\) будут влиять на конечные интервалы, исследуем их. \((-6, 3.5)\) и \((5, +\infty)\) — это полезные уравнения с логарифмами.
Решение неравенства. Теперь решим саму задачу \(\frac{\log_2(2x^2 - 17x + 35) - 1 \leq 0\): \[ \log_2(2x^2 - 17x + 35) \leq 1. \] Это эквивалентно: \[ 2x^2 - 17x + 35 \leq 2. \]
Переносим \(2\) в левую часть: \[ 2x^2 - 17x + 33 \leq 0. \] Находим корни уравнения \(2x^2 - 17x + 33 = 0\): \[ D = (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 33 = 289 - 264 = 25, \] \[ x_1 = \frac{17 - 5}{4} = 3, \] \[ x_2 = \frac{17 + 5}{4} = 5.5. \]
У нас остается интервал \((3, 5.5)\).
Теперь мы имеем:
- Для неравенства:
- \(x \in (-6, 3.5) \cup (5, +\infty)\) достаточно для логарифмов,
- \(x \in [3, 5.5]\) из логарифмического неравенства.
Итоговая область: \(x \in [3, 3.5)\) или \(x \in (5, 5.5]\).
Таким образом, ответ для вашего уравнения:
\[ x \in [3, 3.5) \cup (5, 5.5]. \]
