2.Найдите угол между прямыми АВ и СД, если А (6; -8; -2), В (5; -8; -1), С (7; -7; -9), Д (7; -5; -11).
Чтобы найти угол между прямыми AB и CD, нам сначала нужно определить векторы направлений этих прямых. Для этого вычислим векторы AB и CD.
Вектор AB:
\[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (5 - 6, -8 - (-8), -1 - (-2)) = (-1, 0, 1). \]
Вектор CD:
\[ \vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (7 - 7, -5 - (-7), -11 - (-9)) = (0, 2, -2). \]
Теперь, чтобы найти угол между двумя векторами, мы можем использовать формулу:
\[ \cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| |\vec{CD}|}, \]
где \(\vec{AB} \cdot \vec{CD}\) — скалярное произведение векторов, а \(|\vec{AB}|\) и \(|\vec{CD}|\) — их длины.
- Вычислим скалярное произведение:
\[ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = 0 + 0 - 2 = -2. \]
- Найдем длины векторов:
\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}, \]
\[ |\vec{CD}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}. \]
- Теперь подставим это в формулу для косинуса:
\[ \cos \theta = \frac{-2}{\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}. \]
- Определим угол θ:
Угол, для которого \(\cos \theta = -\frac{1}{2}\), равен \(120^\circ\) или \(240^\circ\). В данном контексте нас интересует острый угол между прямыми, который равен \(120^\circ\).
Таким образом, угол между прямыми AB и CD составляет \(120^\circ\).
