При возбуждении атома водорода квантом света радиус орбиты электрона увеличился в четыре раза.Определить длину волны кванта света

Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним основные принципы, связанные с атомом водорода и его энергетическими состояниями.

Когда атом водорода возбуждается, электрон переходит на более высокий уровень энергии. Радиус орбиты электрона в зависимости от уровня энергии описывается уравнением:

\[ r_n = n^2 \cdot a_0 \]

где:

• \( r_n \) — радиус орбиты электрона на уровне \( n \),
• \( n \) — главный квантовый номер (целое положительное число),
• \( a_0 \) — радиус Боровского (приблизительно \( 5.29 \times 10^{-11} \) метров).

Если радиус орбиты увеличивается в 4 раза в результате возбуждения, это значит, что новый радиус \( r_{n'} \) равен:

\[ r_{n'} = 4 \cdot r_n \]

Соотношение для радиусов орбит может быть записано как:

\[ n'^2 \cdot a_0 = 4 \cdot n^2 \cdot a_0 \]

Из этого уравнения видно, что:

\[ n'^2 = 4 \cdot n^2 \]

Следовательно, \( n' = 2n \). То есть, электрон перешёл с уровня \( n \) на уровень \( 2n \).

Теперь, чтобы определить длину волны кванта света, необходимо использовать формулу, связывающую изменение энергии уровня \( E \) и длину волны \( \lambda \):

\[ E = \frac{hc}{\lambda} \]

где:

• \( h \) — постоянная Планка (\( 6.626 \times 10^{-34} \) Дж·с),
• \( c \) — скорость света (\( 3 \times 10^8 \) м/с).

Энергия соответствующего перехода между уровнями определяется как:

\[ E = E_{n'} - E_n = -\frac{13.6 \, \text{эВ}}{n'^2} + \frac{13.6 \, \text{эВ}}{n^2} \]

Подставляя \( n \) и \( n' = 2n \):

\[ E = -\frac{13.6 \, \text{эВ}}{(2n)^2} + \frac{13.6 \, \text{эВ}}{n^2} = -\frac{13.6 \, \text{эВ}}{4n^2} + \frac{13.6 \, \text{эВ}}{n^2} = \frac{13.6 \, \text{эВ}}{n^2} \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{13.6 \, \text{эВ}}{n^2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{10.2 \, \text{эВ}}{n^2} \]

Теперь, чтобы выразить длину волны, сначала преобразуем энергию из электроновольт в джоули (1 эВ = \( 1.6 \times 10^{-19} \) Дж):

\[ E = 10.2 \, \text{эВ} \cdot 1.6 \times 10^{-19} \, \text{Дж/эВ} \approx 1.632 \times 10^{-18} \, \text{Дж} \]

Теперь можем использовать формулу для нахождения длины волны:

\[ \lambda = \frac{hc}{E} \]

Подставим известные значения:

\[ \lambda = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \, \text{Дж·с}) \cdot (3 \times 10^8 \, \text{м/с})}{1.632 \times 10^{-18} \, \text{Дж}} \]

Рассчитывая,

\[ \lambda \approx \frac{1.9878 \times 10^{-25}}{1.632 \times 10^{-18}} \approx 1.22 \times 10^{-7} \, \text{м} \approx 122 \, \text{нм} \]

Таким образом, длина волны кванта света, который возбудил атом водорода, составляет примерно 122 нм.