X²-x-1>0
Для решения неравенства \( x^2 - x - 1 > 0 \) нужно следовать нескольким шагам.
Найдем корни соответствующего уравнения: Начнем с уравнения \( x^2 - x - 1 = 0 \). Это квадратное уравнение, для которого можно использовать формулу корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -1 \).
Подставляя значения, получаем: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \]
Таким образом, корни уравнения: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \]
Построим числовую ось: Теперь нам нужно определить, на каких интервалах функция \( x^2 - x - 1 \) будет положительной. У нас есть два корня: \( x_1 \) и \( x_2 \). На числовой оси эти значения делят ее на три интервала:
- \( (-\infty, x_2) \)
- \( (x_2, x_1) \)
- \( (x_1, +\infty) \)
Определим знак функции на интервалах: Проверим знак функции на каждого из интервалов, подставляя произвольные точки:
Для \( x < x_2 \) (например, \( x = -1 \)): \[ (-1)^2 - (-1) - 1 = 1 + 1 - 1 = 1 > 0 \]
Для \( x \in (x_2, x_1) \) (например, \( x = 0 \)): \[ 0^2 - 0 - 1 = -1 < 0 \]
Для \( x > x_1 \) (например, \( x = 2 \)): \[ 2^2 - 2 - 1 = 4 - 2 - 1 = 1 > 0 \]
Записываем ответ: Таким образом, \( x^2 - x - 1 > 0 \) выполняется на интервалах: \[ (-\infty, x_2) \quad \text{и} \quad (x_1, +\infty) \]
В числовом виде это выглядит так: \[ (-\infty, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty) \]
Это конечный результат для неравенства \( x^2 - x - 1 > 0 \). Если есть вопросы или нужно что-то уточнить, дайте знать!
