3. Определите вид треугольника АВС, если А(3; 9), B(0; 6), C(4; 2).
Чтобы определить вид треугольника ABC с вершинами A(3; 9), B(0; 6) и C(4; 2), сначала найдем длины всех его сторон, используя формулу для расстояния между двумя точками в координатной плоскости.
Формула для расчёта расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) выглядит так: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Теперь рассчитаем длины каждой стороны треугольника:
Длина стороны AB: \[ AB = \sqrt{(0 - 3)^2 + (6 - 9)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]
Длина стороны BC: \[ BC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]
Длина стороны AC: \[ AC = \sqrt{(4 - 3)^2 + (2 - 9)^2} = \sqrt{(1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]
Теперь у нас есть длины сторон:
- \( AB = 3\sqrt{2} \)
- \( BC = 4\sqrt{2} \)
- \( AC = 5\sqrt{2} \)
Для определения вида треугольника используем свойства отношений между длинами сторон:
- Если все три стороны равны, треугольник равносторонний.
- Если две стороны равны, треугольник равнобедренный.
- Если длина одной стороны в квадрате равна сумме квадратов двух других сторон, треугольник прямоугольный.
- В остальных случаях треугольник разносторонний.
Теперь проверим, является ли треугольник прямоугольным. Сравним \( AC^2 \) с \( AB^2 + BC^2 \): \[ AC^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50 \] \[ AB^2 + BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 = 18 + 32 = 50 \]
Так как \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \), это значит, что треугольник ABC является прямоугольным.
Итак, треугольник ABC — прямоугольный.
