Физическое тело, скатывающееся с горки с некоторой начальной скоростью, за 3 3 секунды проходит 2 2 м, а в следующие 3 3 секунды — 4 4 м. Считая движение равноускоренным, найди начальную скорость тела.
Чтобы найти начальную скорость физического тела, скатывающегося с горки, предположим, что движение равноускоренное. Для этого используем формулы кинематики.
Дано:
- За первые 3 секунды (t₁ = 3 с) объект проходит расстояние s₁ = 2 м.
- За следующие 3 секунды (t₂ = 3 с), объект проходит расстояние s₂ = 4 м.
Общее время (t) = t₁ + t₂ = 3 + 3 = 6 секунд.
Обозначим:
- \( v_0 \) — начальная скорость,
- \( a \) — ускорение.
Для равномерно ускоренного движения справедливы следующие уравнения:
Расстояние за первый интервал времени (0 до 3 с): \[ s_1 = v_0 \cdot t_1 + \frac{1}{2} a t_1^2 \] Подставим значения: \[ 2 = v_0 \cdot 3 + \frac{1}{2} a \cdot 3^2 \] \[ 2 = 3v_0 + \frac{9}{2}a \quad (1) \]
Расстояние за второй интервал времени (3 до 6 с): \[ s_2 = (v_0 + a \cdot t_1) \cdot t_2 + \frac{1}{2} a t_2^2 \] \[ s_2 = (v_0 + a \cdot 3) \cdot 3 + \frac{1}{2} a \cdot 3^2 \] Подставим значения: \[ 4 = (v_0 + 3a) \cdot 3 + \frac{9}{2}a \] \[ 4 = 3v_0 + 9a + \frac{9}{2}a \] \[ 4 = 3v_0 + \frac{27}{2}a \quad (2) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2):
- \( 2 = 3v_0 + \frac{9}{2}a \)
- \( 4 = 3v_0 + \frac{27}{2}a \)
Из первого уравнения выразим \( v_0 \): \[ 3v_0 = 2 - \frac{9}{2}a \] \[ v_0 = \frac{2 - \frac{9}{2}a}{3} \]
Теперь подставим это значение во второе уравнение: \[ 4 = 3 \left(\frac{2 - \frac{9}{2}a}{3}\right) + \frac{27}{2} a \] Упростим: \[ 4 = 2 - \frac{9}{2}a + \frac{27}{2}a \] \[ 4 = 2 + \frac{18}{2}a \] \[ 4 - 2 = 9a \] \[ 2 = 9a \] \[ a = \frac{2}{9} \, \text{м/с}^2 \]
Теперь подставляем значение \( a \) обратно, чтобы найти \( v_0 \): \[ v_0 = \frac{2 - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9}}{3} \] \[ v_0 = \frac{2 - 1}{3} = \frac{1}{3} \, \text{м/с} \]
Таким образом, начальная скорость тела \( v_0 \) составляет \(\frac{1}{3} \, \text{м/с}\).
