Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 80% случаев. Какова вероятность того, что из пяти больных поправятся двое?
Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. В данном случае у нас есть вероятность выздоровления \( p = 0.8 \) и вероятность того, что пациент не выздоровеет \( q = 1 - p = 0.2 \). Мы хотим узнать вероятность того, что из 5 пациентов поправятся ровно 2.
Формула биномиального распределения выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot (p^k) \cdot (q^{n-k}) \]
где:
- \( P(X = k) \) — вероятность того, что из \( n \) испытаний произойдет ровно \( k \) успехов,
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
- \( n \) — общее количество пациентов (в нашем случае 5),
- \( k \) — количество выздоровевших пациентов (в нашем случае 2),
- \( p \) — вероятность успеха (выздоровления),
- \( q \) — вероятность неуспеха (невыздоровления).
Теперь подставим значения:
\[ n = 5, \quad k = 2, \quad p = 0.8, \quad q = 0.2 \]
Сначала найдем биномиальный коэффициент:
\[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]
Теперь подставим все в формулу:
\[ P(X = 2) = C(5, 2) \cdot (0.8^2) \cdot (0.2^{5-2}) = 10 \cdot (0.64) \cdot (0.008) \]
Теперь считаем:
\[ P(X = 2) = 10 \cdot 0.64 \cdot 0.008 = 10 \cdot 0.00512 = 0.0512 \]
Таким образом, вероятность того, что из пяти больных поправятся ровно двое, составляет \( 0.0512 \) или \( 5.12\% \).
